8. Решите неравенство: log₃ (3 - x) > log₃ (5 - 4x);

Решение:

1. Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть два условия:
2. • 1. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
   • \( 3-x > 0 \) => \( x < 3 \)
   • \( 5-4x > 0 \) => \( 5 > 4x \) => \( x < \frac{5}{4} \)
   • 2. Так как основания логарифмов (3) больше 1, то логарифмическая функция возрастает. Следовательно, мы можем приравнять аргументы, сохранив знак неравенства:
   • \( 3-x > 5-4x \)
   • \( 4x - x > 5 - 3 \)
   • \( 3x > 2 \)
   • \( x > \frac{2}{3} \)
   • Объединим все условия:
   • • \( x < 3 \)
     • \( x < \frac{5}{4} \)
     • \( x > \frac{2}{3} \)
   • Наиболее строгим верхним ограничением является \( x < \frac{5}{4} \).
   • Таким образом, решение неравенства: \( \frac{2}{3} < x < \frac{5}{4} \).

Ответ: \( (\frac{2}{3}; \frac{5}{4}) \)