8. Постройте график уравнения (y - x - 1)(y - x²) = 0. Сколько точек пересечения имеет график данного уравнения с прямой, параллельной оси ординат?

Решение:

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( y - x - 1 = 0 \)
2. \( y - x^2 = 0 \)

1. График уравнения \( y - x - 1 = 0 \)

Это уравнение прямой. Преобразуем его к виду \( y = x + 1 \).

• Для построения прямой достаточно найти две точки.
• Если \( x = 0 \), то \( y = 0 + 1 = 1 \). Точка (0, 1).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = x + 1 \), \( x = -1 \). Точка (-1, 0).

2. График уравнения \( y - x^2 = 0 \)

Это уравнение параболы. Преобразуем его к виду \( y = x^2 \).

• Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат (0, 0).
• Некоторые точки параболы: (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), (2, 4).

3. Построение графика и поиск точек пересечения с прямой, параллельной оси ординат.

Прямая, параллельная оси ординат, имеет вид \( x = k \), где \( k \) — константа.

Рассмотрим, сколько раз прямая \( x = k \) может пересечь построенный график.

• Если \( x = k \) — вертикальная прямая:
• Для параболы \( y = x^2 \): любая вертикальная прямая \( x = k \) пересекает параболу ровно в одной точке \( (k, k^2) \).
• Для прямой \( y = x + 1 \): любая вертикальная прямая \( x = k \) пересекает прямую ровно в одной точке \( (k, k+1) \).

Таким образом, любая прямая, параллельная оси ординат (вертикальная прямая \( x = k \)), будет пересекать график данного уравнения в двух точках:

1. Точка на параболе: \( (k, k^2) \)
2. Точка на прямой: \( (k, k+1) \)

Следовательно, график данного уравнения имеет две точки пересечения с любой прямой, параллельной оси ординат.

Ответ: 2.