8. Основания прямоугольной трапеции равны 15 см и 27 см, а диагональ делит ее острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD.
• BC = 15 см (меньшее основание).
• AD = 27 см (большее основание).
• Диагональ AC делит острый угол BAD пополам.
• ∠A = ∠B = 90°.

Найти: Площадь трапеции S.

Решение:

1. Свойство диагонали: Так как диагональ AC делит ∠BAD пополам, то ∠BAC = ∠CAD.
2. Параллельные прямые: BC || AD. AC - секущая. Следовательно, ∠BCA = ∠CAD (как накрест лежащие углы).
3. Равные углы: Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠BAC = ∠BCA. Это означает, что треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC.
4. Вычисление боковой стороны: AB = BC = 15 см.
5. Нахождение высоты: В прямоугольной трапеции высота, опущенная из вершины C на основание AD (CH), равна боковой стороне AB. Таким образом, CH = AB = 15 см.
6. Вычисление площади: Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = (a + b) / 2 * h, где a и b - основания, h - высота.
7. Подстановка значений: S = (27 см + 15 см) / 2 * 15 см = 42 см / 2 * 15 см = 21 см * 15 см = 315 см².

Ответ: 315 см²