8. Определите, пересекает ли график функции f(x) = x⁴ - 8x² - 9 ось х, и если пересекает, то в каких точках.

Решение:

Чтобы определить, пересекает ли график функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 - 9 \) ось \( x \), нужно найти корни уравнения \( f(x) = 0 \).

\( x^4 - 8x^2 - 9 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \), тогда \( t^2 = x^4 \). Уравнение примет вид:

\( t^2 - 8t - 9 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант:

\( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \).

Найдем корни для \( t \):

\( t_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

\( t_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Теперь вернёмся к замене \( t = x^2 \):

1. \( x^2 = t_1 = 9 \) \(\\$$

\( x = \pm\sqrt{9} \)

\( x_1 = 3 \), \( x_2 = -3 \).

2. \( x^2 = t_2 = -1 \) \(\\$$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, график функции пересекает ось \( x \) в точках \( x = 3 \) и \( x = -3 \).

Ответ: Да, график функции пересекает ось х в точках \( x = 3 \) и \( x = -3 \).