8. Найдите значение выражения \(\sqrt{36a^2 + 12ab + b^2}\) при \( a = \frac{4}{5} \) и \( b = 8\frac{1}{5} \).

Решение:

Сначала упростим выражение под корнем. Заметим, что \( 36a^2 = (6a)^2 \) и \( b^2 \). Попробуем применить формулу квадрата суммы \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

Пусть \( x = 6a \) и \( y = b \). Тогда \( 2xy = 2 \cdot 6a \cdot b = 12ab \). Это совпадает с нашим выражением.

Значит, \( 36a^2 + 12ab + b^2 = (6a+b)^2 \).

Теперь выражение под корнем выглядит так: \( \sqrt{(6a+b)^2} = |6a+b| \).

Подставим данные значения \( a = \frac{4}{5} \) и \( b = 8\frac{1}{5} = \frac{41}{5} \).

Вычислим \( 6a \): \( 6a = 6 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} \).

Теперь вычислим \( 6a+b \): \( \frac{24}{5} + \frac{41}{5} = \frac{24+41}{5} = \frac{65}{5} = 13 \).

Так как \( 6a+b = 13 \) (положительное число), то \( |6a+b| = |13| = 13 \).

Таким образом, значение выражения равно 13.

Ответ: 13.