8. Найдите значение выражения \(\sqrt{36a^2 + 12ab + b^2}\) при \( a = \frac{4}{5} \) и \( b = 8 \frac{1}{5} \).

Решение:

Выражение под корнем является полным квадратом суммы:

\[ 36a^2 + 12ab + b^2 = (6a + b)^2 \]

Теперь найдём значение выражения \( 6a + b \) при заданных значениях \( a \) и \( b \).

Переведём смешанное число \( b = 8 \frac{1}{5} \) в неправильную дробь:

\[ b = 8 \frac{1}{5} = \frac{8 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{41}{5} \]

Подставим значения \( a = \frac{4}{5} \) и \( b = \frac{41}{5} \) в выражение \( 6a + b \):

\[ 6a + b = 6 \cdot \frac{4}{5} + \frac{41}{5} = \frac{24}{5} + \frac{41}{5} = \frac{24 + 41}{5} = \frac{65}{5} = 13 \]

Теперь найдём значение корня:

\[ \sqrt{36a^2 + 12ab + b^2} = \sqrt{(6a + b)^2} = |6a + b| = |13| = 13 \]

Ответ: 13