8. Найдите значение выражения $$\frac{a^{23} · (b^{5})^{4}}{(a \cdot b)^{20}}$$ при $$a = 2$$ и $$b = \sqrt{2}$$.

Пошаговое решение:

• Упрощение выражения:
• Применим свойство степени $$(x^m)^n = x^{m · n}$$ к числителю: $$(b^5)^4 = b^{5 · 4} = b^{20}$$.
• Числитель становится: $$a^{23} · b^{20}$$.
• Применим свойство степени $$(xy)^n = x^n y^n$$ к знаменателю: $$(a · b)^{20} = a^{20} · b^{20}$$.
• Теперь выражение выглядит так: $$\frac{a^{23} · b^{20}}{a^{20} · b^{20}}$$.
• Сократим одинаковые множители $$b^{20}$$: $$\frac{a^{23}}{a^{20}}$$.
• Применим свойство степени $$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$$: $$a^{23-20} = a^3$$.
• Подстановка значений:
• Теперь подставим $$a = 2$$ в упрощенное выражение $$a^3$$.
• $$2^3 = 2 · 2 · 2 = 8$$.

Ответ: 8