8. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Задание 8. Угол NMB

Дано:

• Окружность с центром в точке О.
• AB — диаметр.
• M и N — точки на окружности.
• \( \angle NBA = 38^\circ \).

Найти: величину угла \( \angle NMB \).

Решение:

1. Угол \( \angle NBA \) является вписанным углом, опирающимся на дугу NA.
2. Угол \( \angle NMA \) также является вписанным углом, опирающимся на дугу NA.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, \( \angle NMA = \angle NBA = 38^\circ \).
4. Угол \( \angle NMB \) является частью угла \( \angle NMA \).
5. По условию, точки M и N взяты по разные стороны от диаметра AB.
6. Так как AB — диаметр, то угол \( \angle ANB \) является вписанным углом, опирающимся на полуокружность, следовательно, \( \angle ANB = 90^\circ \).
7. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ANB \): \( \angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ \).
8. Аналогично, угол \( \angle AMB \) является вписанным углом, опирающимся на полуокружность, следовательно, \( \angle AMB = 90^\circ \).
9. Угол \( \angle NMB \) = \( \angle AMB - \angle AMN \).
10. Треугольник \( \triangle ONA \) равнобедренный (OA=ON=радиус), \( \angle ONA = \angle OAN = 52^\circ \).
11. \( \angle MON = 180^\circ - (\angle ONA + \angle OAN) = 180^\circ - (52^\circ + 52^\circ) = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ \).
12. \( \angle NMB = \angle NAM \).
13. \( \angle NAM = \angle NAB - \angle MAB \).
14. Так как AB — диаметр, \( \angle AMB = 90^\circ \).
15. Рассмотрим угол \( \angle NMB \). Он вписанный и опирается на дугу NB.
16. Угол \( \angle NAB \) вписанный и опирается на дугу NB.
17. \( \angle NAB = 180^\circ - 90^\circ - 38^\circ = 52^\circ \) (из \( \triangle ANB \)).
18. \( \angle NMB = \angle NAB = 52^\circ \) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу NB).

Ответ: 52.