8. Квадрат разделён на 6 прямоугольников. Сумма периметров всех шести прямоугольников равна 120. Чему равна сторона квадрата?

Решение:

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Квадрат разделён на 6 прямоугольников. Рассмотрим, как расположены эти прямоугольники. На схеме видно, что квадрат разделён на три вертикальных полосы, а затем средняя полоса разделена горизонтально на две части, и одна из крайних полос разделена горизонтально на две части.

Пусть одна сторона квадрата разделена на отрезки \( x_1, x_2, x_3 \), а другая на \( y_1, y_2 \). При этом \( x_1 + x_2 + x_3 = a \) и \( y_1 + y_2 = a \).

Если разбить квадрат на 6 прямоугольников, как показано на схеме, то у нас будет 3 вертикальных линии и 2 горизонтальные линии, которые делят квадрат. Или наоборот.

Рассмотрим горизонтальные и вертикальные линии, которые составляют стороны маленьких прямоугольников. Каждая внутренняя линия будет дважды учтена в сумме периметров, а стороны квадрата — один раз.

Пусть сторона квадрата равна \( a \). В сумме периметров всех 6 прямоугольников каждая сторона квадрата будет учтена как минимум один раз. Внутренние линии, делящие квадрат, будут учтены дважды.

Пусть квадрат разделён так, что есть 2 вертикальные линии, делящие сторону \( a \) на 3 части, и 1 горизонтальная линия, делящая другую сторону \( a \) на 2 части. Это даст \( 3 \times 2 = 6 \) прямоугольников.

Пусть стороны прямоугольников: \( x_1, y_1 \), \( x_2, y_1 \), \( x_3, y_1 \), \( x_1, y_2 \), \( x_2, y_2 \), \( x_3, y_2 \).

Где \( x_1 + x_2 + x_3 = a \) и \( y_1 + y_2 = a \).

Сумма периметров = \( 2(x_1+y_1) + 2(x_2+y_1) + 2(x_3+y_1) + 2(x_1+y_2) + 2(x_2+y_2) + 2(x_3+y_2) \)

\( = 2(x_1+x_2+x_3) + 2(y_1+y_1+y_1) + 2(x_1+x_2+x_3) + 2(y_2+y_2+y_2) \)

\( = 2a + 6y_1 + 2a + 6y_2 = 4a + 6(y_1+y_2) = 4a + 6a = 10a \)

В другом случае, если разделить сторону \( a \) на 2 части \( x_1, x_2 \) и другую сторону \( a \) на 3 части \( y_1, y_2, y_3 \). Тогда \( x_1 + x_2 = a \) и \( y_1 + y_2 + y_3 = a \).

Сумма периметров = \( 2(x_1+y_1) + 2(x_1+y_2) + 2(x_1+y_3) + 2(x_2+y_1) + 2(x_2+y_2) + 2(x_2+y_3) \)

\( = 2(x_1+x_1+x_1) + 2(y_1+y_2+y_3) + 2(x_2+x_2+x_2) + 2(y_1+y_2+y_3) \)

\( = 6x_1 + 2a + 6x_2 + 2a = 6(x_1+x_2) + 4a = 6a + 4a = 10a \)

Итак, в обоих случаях сумма периметров равна \( 10a \).

По условию, сумма периметров равна 120.

\( 10a = 120 \)

\( a = \frac{120}{10} = 12 \).

Ответ: 12.