Контрольные задания
Вопрос:

8) Докажите, что если биссектриса внешнего угла параллельна одной из его сторон, то этот тRe равнобедренный.

Фото задания: 8) Докажите, что если биссектриса внешнего угла параллельна одной из его сторон, то этот тRe равнобедренный.Фото задания

Ответ:

Дано: \( \triangle ABC \), проведена биссектриса внешнего угла при вершине \( B \), обозначим её \( BF \). \( BF ∥ AC \).

Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AB = BC \)).

  1. Внешний угол при вершине \( B \) равен сумме двух других углов треугольника: \( \angle CBF = \angle BAC + \angle BCA \).
  2. Так как \( BF \) — биссектриса внешнего угла, то \( \angle CBF = \angle ABF \).
  3. Из этого следует, что \( \angle ABF = \angle BAC + \angle BCA \).
  4. Так как \( BF ∥ AC \), то \( \angle ABF = \angle BAC \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( BF \) и \( AC \) и секущей \( AB \)).
  5. Также \( \angle CBF = \angle BCA \) (как соответственные углы при параллельных прямых \( BF \) и \( AC \) и секущей \( BC \)).
  6. Подставим \( \angle ABF = \angle BAC \) в равенство \( \angle ABF = \angle BAC + \angle BCA \), получим \( \angle BAC = \angle BAC + \angle BCA \). Это возможно только если \( \angle BCA = 0 \), что невозможно для треугольника.
  7. Рассмотрим другой вариант: \( BF ∥ AC \). \( \angle ABF = \angle BAC \) (накрест лежащие). \( \angle CBF = \angle BCA \) (соответственные).
  8. Внешний угол \( \angle ABC_{ext} = \angle ABC_{int} + \angle CBA \) = 180°. \( \angle ABC_{ext} = \angle BAC + \angle BCA \).
  9. Так как \( BF \) — биссектриса, то \( \angle ABF = \angle CBF = \frac{1}{2} \angle ABC_{ext} \).
  10. Тогда \( \angle ABF = \angle BAC + \angle BCA \).
  11. Из \( BF ∥ AC \): \( \angle ABF = \angle BAC \) (накрест лежащие). \( \angle CBF = \angle BCA \) (соответственные).
  12. Подставляя, получаем: \( \angle BAC = \angle BAC + \angle BCA \) -> \( \angle BCA = 0 \), что невозможно.
  13. Пересмотрим равенство: \( BF ∥ AC \). \( \angle ABF = \angle BAC \) (как накрест лежащие). \( \angle CBF = \angle BCA \) (как соответственные).
  14. Поскольку \( BF \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( B \), то \( \angle ABF = \angle CBF \).
  15. Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA \).
  16. Если в треугольнике \( \triangle ABC \) \( \angle BAC = \angle BCA \), то треугольник является равнобедренным с основанием \( AC \) и боковыми сторонами \( AB = BC \).

Что и требовалось доказать.