№ 8. Даны точки C(3; −2; 1), D(−1; 2; 1), M(2; 1; 3), N(−1; 4; −2). а) Определите, будут ли прямые CM и DN перпендикулярны. б) Найдите длину вектора \(\vec p=\frac12\overrightarrow{CD}-2\overrightarrow{MN}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Проверим перпендикулярность прямых CM и DN.

Направляющие векторы этих прямых:

\(\overrightarrow{CM}=(2-3;\,1-(-2);\,3-1)=(-1;3;2)\),

\(\overrightarrow{DN}=(-1-(-1);\,4-2;\,-2-1)=(0;2;-3)\).

Их скалярное произведение: \((-1)\cdot0+3\cdot2+2\cdot(-3)=0\). Значит, направляющие векторы перпендикулярны, поэтому прямые CM и DN перпендикулярны.

б) Найдём длину вектора \(\vec p\).

\(\overrightarrow{CD}=(-1-3;\,2-(-2);\,1-1)=(-4;4;0)\).

\(\overrightarrow{MN}=(-1-2;\,4-1;\,-2-3)=(-3;3;-5)\).

\(\vec p=\frac12(-4;4;0)-2(-3;3;-5)=(-2;2;0)+(6;-6;10)=(4;-4;10)\).

\(|\vec p|=\sqrt{4^2+(-4)^2+10^2}=\sqrt{132}=2\sqrt{33}\).

Ответ: а) да, CM ⟂ DN; б) \(|\vec p|=2\sqrt{33}\).