8. (12 баллов) Площадь треугольника ABC равна 1 см², длины сторон треугольника удовлетворяют неравенствам BC ≤ AC ≤ AB, причём AC ≤ √2 см. Найти длины биссектрис треугольника.

Обозначим стороны треугольника: \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\). Пусть \(A_0=\angle A\), а \(r\) — радиус вписанной окружности.

Из условия \(a\le b\le c\), поэтому наибольшая сторона — \(c\). Для фиксированной площади \(S=1\) и стороны \(b\) имеем \(S=\frac12 ac\sin B\). Используя условие существования треугольника и ограничения, получаем единственную предельную конфигурацию, при которой возможны данные неравенства: \(b=\sqrt2\), \(a=c=\sqrt2\). Следовательно, треугольник равносторонний со стороной \(\sqrt2\) см, поскольку его площадь \(\frac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\frac{\sqrt3}{2}\ne1\) — это противоречие.

Значит, условие в данной формулировке не определяет единственные длины биссектрис: существует семейство треугольников площади \(1\) см² со сторонами \(BC\le AC\le AB\) и \(AC\le\sqrt2\) см, причём длины биссектрис у них различны.

Например, возьмём \(AC=1\), \(BC=AB=2\). Площадь такого треугольника равна \(\frac14\sqrt{15}\ne1\), а изменением угла при \(C\) можно получить площадь \(1\), сохранив указанные неравенства. Поэтому без дополнительного условия найти однозначные длины биссектрис невозможно.

Ответ: данных недостаточно для однозначного определения длин биссектрис.