Контрольные задания
Вопрос:

8. 1) Дайте определение логарифмической функции и перечислите ее основные свойства. 2) Постройте график функции: a) y = log₄ x; б) y = log₁/₅ (x − 1); в) y = log₅ x; г) y = log₁/₄ x + 1.

Фото задания: 8. 1) Дайте определение логарифмической функции и перечислите ее основные свойства. 2) Постройте график функции: a) y =…Фото задания

Ответ:

1. Определение и свойства логарифмической функции

Определение: Логарифмической функцией называется функция вида \( y = \log_a x \), где \( a \) — заданное число, такое что \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \). Число \( a \) называется основанием логарифма.

Основные свойства:

  • Область определения: \( D(y) = (0; +\infty) \) (аргумент логарифма должен быть строго больше нуля).
  • Область значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \) (значения функции могут быть любыми действительными числами).
  • Монотонность:
    • Если \( a > 1 \), функция возрастает на всей области определения.
    • Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает на всей области определения.
  • Нули функции: \( \log_a x = 0 \) только при \( x = 1 \) (так как \( a^0 = 1 \) для любого \( a \neq 0 \)).
  • Поведение при \( x \to \infty \) и \( x \to 0^+ \):
    • Если \( a > 1 \), то при \( x \to +\infty \) \( y \to +\infty \), при \( x \to 0^+ \) \( y \to -\infty \).
    • Если \( 0 < a < 1 \), то при \( x \to +\infty \) \( y \to -\infty \), при \( x \to 0^+ \) \( y \to +\infty \).
  • График: График логарифмической функции всегда проходит через точку \( (1; 0) \).
  • Симметрия: График логарифмической функции не обладает симметрией относительно начала координат или оси ординат.

2. Построение графиков функций

Для построения графиков будем использовать свойства логарифмической функции и метод преобразования графиков.

a) \( y = \log_4 x \)

  • Это стандартная логарифмическая функция с основанием \( a = 4 \).
  • Так как \( a = 4 > 1 \), функция возрастает.
  • График проходит через точку \( (1, 0) \).
  • Основные точки: \( (4, 1) \) (так как \( \log_4 4 = 1 \)), \( (16, 2) \) (так как \( \log_4 16 = 2 \)), \( (1/4, -1) \) (так как \( \log_4 (1/4) = -1 \)).

б) \( y = \log_{1/5} (x - 1) \)

  • Это функция \( y = \log_{1/5} x \), сдвинутая на 1 единицу вправо.
  • Основание \( a = 1/5 \), где \( 0 < a < 1 \), значит, функция убывает.
  • Область определения: \( x - 1 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( x > 1 \).
  • График проходит через точку \( (2, 0) \) (так как \( x-1=1 \) \( \Rightarrow \) \( x=2 \), \( \log_{1/5} 1 = 0 \)).
  • Основные точки: \( (1/5 + 1, 1) = (6/5, 1) \) (так как \( x-1 = 1/5 \) \( \Rightarrow \) \( x=6/5 \), \( \log_{1/5} (1/5) = 1 \)), \( (125+1, -1) = (126, -1) \) (так как \( x-1 = 125 \) \( \Rightarrow \) \( x=126 \), \( \log_{1/5} 125 = -1 \)).

в) \( y = \log_5 x \)

  • Это стандартная логарифмическая функция с основанием \( a = 5 \).
  • Так как \( a = 5 > 1 \), функция возрастает.
  • График проходит через точку \( (1, 0) \).
  • Основные точки: \( (5, 1) \) (так как \( \log_5 5 = 1 \)), \( (25, 2) \) (так как \( \log_5 25 = 2 \)), \( (1/5, -1) \) (так как \( \log_5 (1/5) = -1 \)).

г) \( y = \log_{1/4} x + 1 \)

  • Это функция \( y = \log_{1/4} x \), сдвинутая на 1 единицу вверх.
  • Основание \( a = 1/4 \), где \( 0 < a < 1 \), значит, функция убывает.
  • Область определения: \( x > 0 \).
  • График проходит через точку \( (1, 1) \) (так как \( \log_{1/4} 1 = 0 \), \( 0 + 1 = 1 \)).
  • Основные точки: \( (1/4, 0) \) (так как \( \log_{1/4} (1/4) = 1 \), \( 1 + 1 = 2 \) - ошибка в рассуждении, должно быть: \( \log_{1/4} (1/4) = 1 \), \( y = 1+1 = 2 \) -> точка \( (1/4, 2) \) ), \( (4, -1) \) (так как \( \log_{1/4} 4 = -1 \), \( -1 + 1 = 0 \) -> точка \( (4, 0) \)).

Примечание: Графики построены с использованием логарифмической шкалы по оси X для наглядности.