78. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 2x² + 12x - 14; б) -m² + 5m - 6; в) 3х² + 5x - 2; г) 6х² - 13x + 6.

Решение:

Для разложения квадратного трёхчлена на множители будем находить корни квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) и использовать формулу \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \), где \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения. Также будем выносить общий множитель, если это возможно.

1. а) 2x² + 12x - 14
   Вынесем общий множитель 2: \( 2(x² + 6x - 7) \).
   Найдем корни уравнения \( x² + 6x - 7 = 0 \).
   По теореме Виета, \( x_1 + x_2 = -6 \) и \( x_1 · x_2 = -7 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -7 \).
   Таким образом, \( 2(x - 1)(x + 7) \).
2. б) -m² + 5m - 6
   Вынесем общий множитель -1: \( -(m² - 5m + 6) \).
   Найдем корни уравнения \( m² - 5m + 6 = 0 \).
   По теореме Виета, \( m_1 + m_2 = 5 \) и \( m_1 · m_2 = 6 \). Корни: \( m_1 = 2 \) и \( m_2 = 3 \).
   Таким образом, \( -(m - 2)(m - 3) \).
3. в) 3х² + 5x - 2
   Найдем корни уравнения \( 3x² + 5x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта.
   \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49 \).
   \( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 · 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
   \( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 · 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \).
   Таким образом, \( 3(x - 1/3)(x - (-2)) = 3(x - 1/3)(x + 2) = (3x - 1)(x + 2) \).
4. г) 6х² - 13x + 6
   Найдем корни уравнения \( 6x² - 13x + 6 = 0 \) с помощью дискриминанта.
   \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 · 6 · 6 = 169 - 144 = 25 \).
   \( x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 · 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \).
   \( x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 · 6} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).
   Таким образом, \( 6(x - 3/2)(x - 2/3) = (2 · (x - 3/2)) · (3 · (x - 2/3)) = (2x - 3)(3x - 2) \).

Ответ: а) \( 2(x - 1)(x + 7) \); б) \( -(m - 2)(m - 3) \); в) \( (3x - 1)(x + 2) \); г) \( (2x - 3)(3x - 2) \).