78 Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.

Краткая запись:

• Общая длина отрезка: 36 см
• Расстояние между серединами крайних частей: 30 см
• Найти: Расстояние между серединами средних частей — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим, какую часть от общей длины составляют крайние части отрезка. Две крайние части вместе с расстоянием между их серединами составляют 30 см.
2. Шаг 2: Найдем суммарную длину двух крайних частей. Для этого из общей длины отрезка (36 см) вычтем расстояние между серединами крайних частей (30 см):
   \( 36 - 30 = 6 \) см.
3. Шаг 3: По условию, отрезок разделён на четыре не равные части. Расстояние между серединами крайних частей (30 см) включает в себя две средние части и половину каждой из крайних частей. Однако, для решения задачи нам нужно найти расстояние между серединами именно средних частей.
4. Шаг 4: Рассмотрим, как расстояние между серединами крайних частей (30 см) связано с общей длиной отрезка (36 см). Разница (36 - 30 = 6 см) представляет собой сумму длин двух крайних частей.
5. Шаг 5: Поскольку отрезок состоит из четырех частей, и нам известно, что расстояние между серединами крайних частей равно 30 см, то это расстояние включает в себя две средние части и половину каждой из крайних частей.
6. Шаг 6: Пусть длины частей будут: \( a, b, c, d \) от начала к концу отрезка. Средние части — это \( b \) и \( c \). Расстояние между серединами крайних частей равно \( \frac{a}{2} + b + c + \frac{d}{2} = 30 \). Общая длина \( a + b + c + d = 36 \).
7. Шаг 7: Если вычесть из общей длины (36) сумму средних частей (b+c), то получим сумму крайних частей (a+d).
8. Шаг 8: Рассмотрим разницу между общей длиной и расстоянием между серединами крайних частей: \( 36 - 30 = 6 \) см. Эта разница (6 см) составляет ровно половину от каждой из крайних частей, то есть \( \frac{a}{2} + \frac{d}{2} = 6 \).
9. Шаг 9: Таким образом, общая длина крайних частей \( a + d = 2 \times 6 = 12 \) см.
10. Шаг 10: Теперь найдем сумму средних частей: \( b + c = \text{Общая длина} - (a + d) = 36 - 12 = 24 \) см.
11. Шаг 11: Расстояние между серединами средних частей равно их суммарной длине, так как середина первой средней части совпадает с началом второй средней части (если рассматривать интервал между серединами). Однако, обычно под расстоянием между серединами двух частей подразумевается расстояние, которое они вместе занимают. В данном контексте, если части b и c соседние, то расстояние между их серединами равно их сумме.
12. Шаг 12: Более точное понимание: пусть середины частей b и c находятся в точках \( M_b \) и \( M_c \). Расстояние между ними равно \( |M_c - M_b| \). Если части b и c идут подряд, то \( M_b = \text{начало_b} + \frac{b}{2} \) и \( M_c = \text{начало_c} + \frac{c}{2} = (\text{начало_b} + b) + \frac{c}{2} \). Тогда \( M_c - M_b = \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{b+c}{2} \).
13. Шаг 13: Однако, если под «расстоянием между серединами средних частей» подразумевается длина, которую занимают эти две части, то это \( b + c \). Перечитаем условие: «Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см». Это означает, что если начало отрезка — 0, а конец — 36. Пусть крайние части имеют длины \( a \) и \( d \), а средние — \( b \) и \( c \). Середина крайней части \( a \) находится на \( a/2 \). Середина крайней части \( d \) находится на \( 36 - d/2 \). Расстояние между ними: \( (36 - d/2) - a/2 = 30 \). \( 36 - (a/2 + d/2) = 30 \). \( a/2 + d/2 = 6 \). \( a + d = 12 \).
14. Шаг 14: Тогда сумма средних частей \( b + c = 36 - (a + d) = 36 - 12 = 24 \) см.
15. Шаг 15: Теперь нам нужно найти расстояние между серединами средних частей \( b \) и \( c \). Середина части \( b \) находится на расстоянии \( a + b/2 \) от начала отрезка. Середина части \( c \) находится на расстоянии \( a + b + c/2 \) от начала отрезка.
16. Шаг 16: Расстояние между этими серединами равно: \( (a + b + c/2) - (a + b/2) = c/2 \). Это не верно, так как части могут быть разной длины.
17. Шаг 17: Давайте переформулируем. Пусть точки деления отрезка на 4 части будут \( P_1, P_2, P_3 \). Начало отрезка — \( P_0=0 \), конец — \( P_4=36 \). Части: \( [P_0, P_1], [P_1, P_2], [P_2, P_3], [P_3, P_4] \). Длины: \( a=P_1-P_0, b=P_2-P_1, c=P_3-P_2, d=P_4-P_3 \).
18. Шаг 18: Середина первой части (a) — \( P_0 + a/2 \). Середина последней части (d) — \( P_4 - d/2 \). Расстояние между ними: \( (P_4 - d/2) - (P_0 + a/2) = 30 \). \( 36 - d/2 - a/2 = 30 \). \( 36 - (a/2 + d/2) = 30 \). \( a/2 + d/2 = 6 \). \( a + d = 12 \).
19. Шаг 19: Середина второй части (b) — \( P_1 + b/2 \). Середина третьей части (c) — \( P_2 + c/2 \).
20. Шаг 20: Расстояние между серединами средних частей \( b \) и \( c \) равно \( |(P_2 + c/2) - (P_1 + b/2)| \).
21. Шаг 21: Мы знаем, что \( a + b + c + d = 36 \) и \( a + d = 12 \). Следовательно, \( b + c = 36 - 12 = 24 \).
22. Шаг 22: Теперь выразим серединам. \( P_1 = a \), \( P_2 = a+b \).
23. Шаг 23: Середина части b: \( a + b/2 \). Середина части c: \( a + b + c/2 \).
24. Шаг 24: Расстояние между ними: \( |(a + b + c/2) - (a + b/2)| = |b + c/2 - b/2| = |b/2 + c/2| = \frac{b+c}{2} \).
25. Шаг 25: Так как \( b + c = 24 \) см, то расстояние между серединами средних частей равно \( \frac{24}{2} = 12 \) см.

Ответ: 12 см