743 Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ.

Решение:

Дано: Окружность с центром \( O \). Хорда \( AB \). Радиус \( OM \) делит хорду \( AB \) пополам, то есть \( AM = MB \). Точка \( M \) лежит на окружности. Касательная \( l \) проведена через точку \( M \).

Доказать: Касательная \( l \) параллельна хорде \( AB \) ( \( l \parallel AB \)).

Доказательство:

1. Так как \( OM \) делит хорду \( AB \) пополам, то \( OM \) является медианой в треугольнике \( OAB \).
2. Рассмотрим треугольник \( OAB \). \( OA \) и \( OB \) — радиусы окружности, следовательно, \( OA = OB \). Таким образом, треугольник \( OAB \) — равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( OM \) является высотой треугольника \( OAB \), то есть \( OM \perp AB \).
4. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. В данном случае, касательная \( l \) проведена через точку \( M \), и \( OM \) — радиус. Следовательно, \( l \perp OM \).
5. Итак, мы имеем, что \( OM \perp AB \) и \( l \perp OM \).
6. Если две прямые ( \( AB \) и \( l \)) перпендикулярны одной и той же прямой ( \( OM \)), то эти две прямые параллельны друг другу.
7. Следовательно, \( l \parallel AB \).

Доказано.