729. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, BC = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы C и D трапеции.

Обозначим высоту трапеции через h. Так как ∠ACD = 90°, диагональ AC перпендикулярна стороне CD.

Горизонтальная проекция AC равна BC = 4 см, а горизонтальная проекция CD равна AD − BC = 16 − 4 = 12 см. Поэтому из условия перпендикулярности:

\(h^2 = 4 \cdot 12 = 48\), откуда \(h = 4\sqrt{3}\) см.

В прямоугольном треугольнике с катетами 12 и \(4\sqrt{3}\) угол между CD и горизонталью равен 30°, поскольку \(\tan 30^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{12}\). Внутренний угол трапеции при C дополнительный к этому углу: \(\angle C = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\).

Соседние углы C и D при боковой стороне CD в трапеции в сумме составляют 180°, значит \(\angle D = 30^\circ\).

Ответ: \(\angle C = 150^\circ\), \(\angle D = 30^\circ\).