72. Докажите, что для любых событий А и В верны неравенства P(A U B) > P(A) и P(A U B) > P(B).

Давайте разберем это неравенство. Мы знаем, что вероятность объединения двух событий A и B вычисляется по формуле:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Где:

• \[ P(A \cup B) \] — вероятность того, что произойдет событие A или событие B (или оба).
  


• \[ P(A) \] — вероятность события A.
  


• \[ P(B) \] — вероятность события B.
  


• \[ P(A \cap B) \] — вероятность того, что произойдут оба события A и B одновременно (их пересечение).
  

Теперь рассмотрим неравенство P(A U B) > P(A).

Из формулы мы видим, что P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Чтобы P(A U B) было больше, чем P(A), нам нужно, чтобы дополнительная часть (P(B) - P(A ∩ B)) была положительной.

Рассуждение:

1. \[ P(A \cap B) \] всегда меньше или равна \[ P(B) \] (потому что событие A ∩ B является подмножеством события B).
   


2. Следовательно, \[ P(B) - P(A \cap B) \] всегда больше или равна 0.
   


3. Если события A и B являются несовместными (то есть они не могут произойти одновременно, \[ P(A \cap B) = 0 \]), то
   

   \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

   
   
   В этом случае, так как \[ P(B) \] > 0 (если событие B вообще возможно), то
   

   \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) > P(A) \]

   
   


4. Если события A и B являются совместными (то есть могут произойти одновременно, \[ P(A \cap B) > 0 \]), то
   

   \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

   
   
   Поскольку
   

   \[ P(B) \] \(\ge\) \; P\(A \cap B\) \],
   

   
   то
   

   \[ P(B) - P(A \cap B) \] \(\ge\) \; 0.
   

   
   
   Таким образом,
   

   \[ P(A \cup B) = P(A) + \text{(неотрицательное число)} \]

   
   
   Если
   

   \[ P(B) > P(A \cap B) \]
   

   
   (что верно, если B может произойти без A), то
   

   \[ P(A \cup B) > P(A) \]

   
   

Точно так же доказывается неравенство P(A U B) > P(B).

Из формулы

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

можно переписать как:

\[ P(A \cup B) - P(A) = P(B) - P(A \cap B) \]

Поскольку

\[ P(B) \] \(\ge\) \; P\(A \cap B\) \],

то

\[ P(B) - P(A \cap B) \] \(\ge\) \; 0.

Следовательно,

\[ P(A \cup B) - P(A) \] \(\ge\) \; 0,

что означает

\[ P(A \cup B) \] \(\ge\) \; P(A) \].

Когда неравенство строгое?

Неравенство будет строгим (\[ P(A \cup B) > P(A) \]) в том случае, если

\[ P(B) > P(A \cap B) \].

Это означает, что событие B должно иметь ненулевую вероятность, которая не полностью «поглощается» пересечением с A.

Проще говоря, объединение событий всегда содержит все исходы, которые входят в A, плюс еще какие-то исходы, которые входят в B (но не в A), поэтому вероятность объединения не может быть меньше вероятности одного из событий.

Ответ: Неравенства P(A U B) > P(A) и P(A U B) > P(B) верны, поскольку вероятность объединения двух событий включает в себя вероятность каждого из этих событий, а также учитывает их пересечение. Вероятность объединения всегда будет не меньше вероятности каждого из входящих в него событий. Строгое неравенство выполняется, если оба события имеют ненулевую вероятность и не являются полностью вложенными друг в друга таким образом, чтобы их объединение было равно одному из них.