710. Высоты BM и CK треугольника ABC пересекаются в точке H, ∠ABC = 35°, ∠ACB = 83°. Найдите ∠BHC.

Решение:

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии. У нас есть треугольник ABC, и в нем проведены две высоты - BM и CK. Они пересекаются в точке H.

Что нам дано:

• \[ \angle ABC = 35^{\circ} \]
• \[ \angle ACB = 83^{\circ} \]

Что нужно найти:

• \[ \angle BHC \]

Логика решения:

1. Находим угол A: В любом треугольнике сумма углов равна 180°. Значит, угол A можно найти так:

\[ \angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB \]

\[ \angle BAC = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 83^{\circ} \]

\[ \angle BAC = 180^{\circ} - 118^{\circ} \]

\[ \angle BAC = 62^{\circ} \]

2. Рассматриваем треугольник ABH: BM - высота, значит, она перпендикулярна AC. Следовательно, \[ \angle AMB = 90^{\circ} \].
   В треугольнике ABM у нас есть \[ \angle BAM = \angle BAC = 62^{\circ} \] и \[ \angle AMB = 90^{\circ} \].
   Тогда \[ \angle ABM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \].
   Угол ABM - это часть угла ABC, то есть \[ \angle ABM = \angle HBC = 28^{\circ} \].
3. Рассматриваем треугольник BHC: Теперь у нас есть два угла в этом треугольнике:
• \[ \angle HBC = 28^{\circ} \] (мы его только что нашли)
• \[ \angle HCB = \angle ACB = 83^{\circ} \] (это нам дано по условию)
4. Находим искомый угол: Сумма углов в треугольнике BHC равна 180°.

\[ \angle BHC = 180^{\circ} - \angle HBC - \angle HCB \]

\[ \angle BHC = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 83^{\circ} \]

\[ \angle BHC = 180^{\circ} - 111^{\circ} \]

\[ \angle BHC = 69^{\circ} \]

Альтернативный путь решения (через четырехугольник AKHB):

1. Рассмотрим четырехугольник AKHB:
• \[ \angle AKB = 90^{\circ} \] (так как CK - высота)
• \[ \angle AMB = 90^{\circ} \] (так как BM - высота)
2. Сумма углов в четырехугольнике: Сумма углов четырехугольника равна 360°.

\[ \angle AKB + \angle KBH + \angle BHA + \angle HAK = 360^{\circ} \]

\[ 90^{\circ} + \angle KBH + \angle BHA + \angle HAK = 360^{\circ} \]

Важное замечание: Углы \[ \angle KBH \] и \[ \angle HAK \] не равны углам \[ \angle ABC \] и \[ \angle BAC \] напрямую. Нужно быть внимательным.

3. Рассмотрим треугольник BKC:
• \[ \angle BKC = 90^{\circ} \]
• \[ \angle KBC = \angle ABC = 35^{\circ} \]
• \[ \angle KCB = \angle ACB = 83^{\circ} \]

В треугольнике BKC сумма углов: \[ 90^{\circ} + 35^{\circ} + 83^{\circ} = 208^{\circ} \]. Это показывает, что треугольник BKC не является прямоугольным с такими углами. Высота CK проведена к стороне AB, а BM - к стороне AC. Значит, точку пересечения H и углы нужно рассматривать в контексте этих высот.

4. Правильный подход через прямоугольные треугольники:
• В прямоугольном треугольнике CKB (угол K = 90°), \[ \angle KBC = 35^{\circ} \]. Тогда \[ \angle BKC = 90^{\circ} \]. А вот \[ \angle BCK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \].
• В прямоугольном треугольнике BMA (угол M = 90°), \[ \angle BAM = 62^{\circ} \]. Тогда \[ \angle ABM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \].
• Теперь вернемся к треугольнику BHC. Мы знаем:
• \[ \angle HBC = \angle ABM = 28^{\circ} \]
• \[ \angle HCB = \angle ACB - \angle BCK = 83^{\circ} - 55^{\circ} = 28^{\circ} \].
• \[ \angle BHC = 180^{\circ} - (\angle HBC + \angle HCB) = 180^{\circ} - (28^{\circ} + 28^{\circ}) = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \].

Проверка:

Где-то ошибка. Давай вернемся к первому решению, оно кажется более простым и верным.

Возвращаемся к первому решению:

1. Угол A = 62° (нашли верно).

2. Рассмотрим треугольник ABH. Угол BMA = 90°. Угол BAM = 62°. Угол ABM = 28°.

3. Рассмотрим треугольник ACH. Угол AKC = 90°. Угол CAK = 62°. Угол ACK = 83°.

Внимание! CK - высота, значит, угол CKA = 90°.

В прямоугольном треугольнике AKC:

\[ \angle KAC = \angle BAC = 62^{\circ} \] \[ \angle CKA = 90^{\circ} \] \[ \angle ACK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \].

Теперь рассмотрим треугольник BHC:

\[ \angle HBC = \angle ABC - \angle ABM = 35^{\circ} - 28^{\circ} = 7^{\circ} \]. (Это было неправильно в первом варианте, \[ \angle ABM \] не равно \[ \angle HBC \]).

Давай используем свойство углов, образованных высотами.

Угол между двумя высотами треугольника равен 180° минус угол треугольника, противолежащий стороне, на которую падает одна из высот.

Рассмотрим четырехугольник AKHB. Углы AKH и AMB равны 90°.

Угол \[ \angle BAC = 62^{\circ} \].

Угол \[ \angle BHC \] является внешним углом треугольника ABH.

В треугольнике ABM, \[ \angle AMB = 90^{\circ} \], \[ \angle BAM = 62^{\circ} \], \[ \angle ABM = 28^{\circ} \].

В треугольнике ACK, \[ \angle AKC = 90^{\circ} \], \[ \angle KAC = 62^{\circ} \], \[ \angle ACK = 28^{\circ} \].

Теперь посмотрим на треугольник BHC. Нам нужны углы \[ \angle HBC \] и \[ \angle HCB \].

\[ \angle HBC = \angle ABC - \angle ABM = 35^{\circ} - 28^{\circ} = 7^{\circ} \].

\[ \angle HCB = \angle ACB - \angle ACK = 83^{\circ} - 28^{\circ} = 55^{\circ} \].

Теперь в треугольнике BHC:

\[ \angle BHC = 180^{\circ} - (\angle HBC + \angle HCB) \] \[ \angle BHC = 180^{\circ} - (7^{\circ} + 55^{\circ}) \] \[ \angle BHC = 180^{\circ} - 62^{\circ} \] \[ \angle BHC = 118^{\circ} \].

Давай еще раз проверим.

В четырехугольнике AKHB:

\[ \angle AKB = 90^{\circ} \] \[ \angle AMB = 90^{\circ} \] \[ \angle KAH = \angle BAC = 62^{\circ} \] \[ \angle KBH = \angle ABC = 35^{\circ} \] \[ \angle AKH \] и \[ \angle AMH \] - это одно и то же \[ \angle BHC \].

В четырехугольнике AKHB, сумма углов равна 360°:

\[ \angle AKB + \angle KBH + \angle BHA + \angle HAK = 360^{\circ} \] \[ 90^{\circ} + 35^{\circ} + \angle BHA + 62^{\circ} = 360^{\circ} \] \[ \angle BHA + 187^{\circ} = 360^{\circ} \] \[ \angle BHA = 360^{\circ} - 187^{\circ} = 173^{\circ} \].

Это угол AHB, а нам нужен BHC. Углы AHB и BHC смежные, если A, H, M лежат на одной прямой, и B, H, K лежат на одной прямой. Но они не смежные. Они просто пересекаются.

Самый простой и верный способ - через углы треугольника BHC.

1. Угол A = 180° - 35° - 83° = 62°.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BMA ( \[ \angle BMA = 90^{\circ} \]): \[ \angle ABM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \].

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKА ( \[ \angle CKA = 90^{\circ} \]): \[ \angle ACK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ} \].

4. Теперь в треугольнике BHC:

\[ \angle HBC = \angle ABC - \angle ABM = 35^{\circ} - 28^{\circ} = 7^{\circ} \] \[ \angle HCB = \angle ACB - \angle ACK = 83^{\circ} - 28^{\circ} = 55^{\circ} \] \[ \angle BHC = 180^{\circ} - (\angle HBC + \angle HCB) = 180^{\circ} - (7^{\circ} + 55^{\circ}) = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ} \].

Ответ: 118°