7. В ряд выписали дроби $\frac11,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1{1000}$. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на $77^2$?

Question

Вопрос: $Фото задания: 7. В ряд выписали дроби $\frac11,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1{1000}$. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю.…$ Фото задания

7. В ряд выписали дроби $\frac11,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1{1000}$. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на $77^2$?

Accepted Answer

Общий знаменатель можно взять равным наименьшему общему кратному чисел от 1 до 1000: $L=\operatorname{НОК}(1,2,\ldots,1000)$. Для дроби $\frac1k$ числитель после приведения равен $L/k$.

Разложение $77^2=7^2\cdot11^2$. В числе $L$ показатель степени простого числа 7 равен 4, поскольку $7^4\le1000<7^5$; показатель степени 11 равен 2, поскольку $11^2\le1000<11^3$. Поэтому $L/k$ делится на $77^2$ тогда и только тогда, когда показатель 7 в $k$ не больше 2: в любом $k\le1000$ показатель 11 не превосходит 2.

Числитель не делится на $77^2$, если $k$ содержит не менее трёх множителей 7, то есть делится на $7^3=343$. Среди чисел от 1 до 1000 таких $\lfloor1000/343\rfloor=2$: 343 и 686.

Ответ: 2.

7. В ряд выписали дроби \(\frac11,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1{1000}\). Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на \(77^2\)?

Ответ: