7. В параллелограмме ABCD точки E, F, К и Млежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём CF=AM, BE = DK. Докажите, что EFKM - параллелограмм.

Решение:

Дано: ABCD — параллелограмм. Точки E, F, K, M лежат на сторонах AB, BC, CD, DA соответственно. CF = AM, BE = DK.

Доказать: EFKM — параллелограмм.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны: AB = CD и BC = DA. Противолежащие углы равны: $$\angle A = \angle C$$ и $$\angle B = \angle D$$.

2. Рассмотрим треугольники $$\triangle AME$$ и $$\triangle CKF$$. У нас есть:

• $$AM = CF$$ (по условию).
• $$AE$$ и $$CF$$ — части сторон параллелограмма.
• $$\angle A = \angle C$$ (углы параллелограмма).
• $$AB = CD$$ (стороны параллелограмма).
• $$BE = DK$$ (по условию).

3. Построим треугольники $$\triangle AME$$ и $$\triangle CKF$$.

4. У нас есть $$AE = AB - BE$$ и $$CF = CD - DK$$. Поскольку $$AB = CD$$ и $$BE = DK$$, то $$AE = CF$$.

5. В треугольниках $$\triangle AME$$ и $$\triangle CKF$$ имеем $$AM = CK$$ (по условию). $$AE = CF$$. $$\angle A = \angle C$$. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними, $$\triangle AME = \triangle CKF$$. Из равенства треугольников следует, что $$ME = KF$$ и $$\angle AME = \angle CKF$$.

6. Рассмотрим треугольники $$\triangle BFE$$ и $$\triangle DKM$$. У нас есть:

• $$BE = DK$$ (по условию).
• $$BF = BC - CF$$ и $$DK = DA - AK$$.
• $$BC = DA$$ (стороны параллелограмма).
• $$CF = AM$$ (по условию).
• $$AK = AD - DK$$.

7. $$BF = BC - CF$$ и $$DM = DA - AM$$. Так как $$BC = DA$$ и $$CF = AM$$, то $$BF = DM$$.

8. В треугольниках $$\triangle BFE$$ и $$\triangle DKM$$ имеем $$BE = DK$$, $$BF = DM$$, $$\angle B = \angle D$$. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними, $$\triangle BFE = \triangle DKM$$. Из равенства треугольников следует, что $$EF = KM$$ и $$\angle BEF = \angle DKM$$.

9. У четырёхугольника EFKM противоположные стороны $$ME$$ и $$KF$$ равны, а также $$EF$$ и $$KM$$ равны.

10. Если в четырёхугольнике две пары противолежащих сторон равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Вывод: EFKM — параллелограмм.