7. Упростите выражение $$ \left( \frac{a}{3ab-b^2} - \frac{5b}{3a^2-ab} \right) : \frac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b} $$

Решение:

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю.

Первая дробь:

$$ \frac{a}{3ab-b^2} = \frac{a}{b(3a-b)} $$

Вторая дробь:

$$ \frac{5b}{3a^2-ab} = \frac{5b}{a(3a-b)} $$

Общий знаменатель для дробей в скобках: \( ab(3a-b) \).

$$ \left( \frac{a}{b(3a-b)} - \frac{5b}{a(3a-b)} \right) = \left( \frac{a \cdot a}{ab(3a-b)} - \frac{5b \cdot b}{ab(3a-b)} \right) = \frac{a^2 - 5b^2}{ab(3a-b)} $$

Теперь преобразуем вторую часть выражения (после двоеточия), которая является делением.

$$ \frac{5b^2-a^2}{ab^2-3a^2b} = \frac{5b^2-a^2}{ab(b-3a)} $$

Заменим знак в знаменателе, чтобы он стал похож на знаменатель в скобках:

$$ \frac{5b^2-a^2}{ab(b-3a)} = \frac{5b^2-a^2}{-ab(3a-b)} = -\frac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)} $$

Теперь выполним деление:

$$ \frac{a^2 - 5b^2}{ab(3a-b)} : \left( -\frac{a^2-5b^2}{ab(3a-b)} \right) $$

Деление на дробь равносильно умножению на перевёрнутую дробь:

$$ \frac{a^2 - 5b^2}{ab(3a-b)} \times \left( -\frac{ab(3a-b)}{a^2-5b^2} \right) $$

Сокращаем общие множители:

$$ \frac{\cancel{a^2 - 5b^2}}{\cancel{ab(3a-b)}} \times \left( -\frac{\cancel{ab(3a-b)}}{\cancel{a^2-5b^2}} \right) = -1 $$

Ответ: -1