7) Тип 9. В треугольнике отмечены середины отрезков M и N сторон BC и AC соответственно. Докажите, что треугольники CMN и ABC подобны. Найдите площадь четырёхугольника ABMN, если площадь треугольника ABC равна 76.

Так как M и N — середины сторон BC и AC, имеем \(CM=\frac{1}{2}BC\) и \(CN=\frac{1}{2}AC\). Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне, поэтому \(MN\parallel AB\) и \(MN=\frac{1}{2}AB\).

Следовательно, соответствующие стороны треугольников CMN и CBA пропорциональны с коэффициентом \(\frac{1}{2}\), значит, \(\triangle CMN\sim\triangle CBA\). Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен \(\frac{1}{2}\), поэтому отношение их площадей равно \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\).

Площадь треугольника CMN: \(76\cdot\frac{1}{4}=19\). Четырёхугольник ABMN составляет оставшуюся часть треугольника ABC, поэтому его площадь равна \(76-19=57\).

Ответ: площадь четырёхугольника ABMN равна 57.