7. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 6, 7, не повторяя цифры?

Решение:

Для составления трёхзначного числа из пяти различных цифр (1, 2, 5, 6, 7) без повторений, мы можем использовать формулу для числа размещений без повторений (перестановок).

У нас есть 5 цифр, и нам нужно выбрать 3 из них и расположить их в определённом порядке. Это задача на размещения.

Формула для числа размещений из \(n\) элементов по \(k\) элементам без повторений:

\[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

В нашем случае \(n = 5\) (количество доступных цифр) и \(k = 3\) (количество цифр в числе).

1. Определим количество вариантов для первой цифры (сотни): У нас есть 5 вариантов (1, 2, 5, 6, 7).
2. Определим количество вариантов для второй цифры (десятки): Так как цифры не должны повторяться, остаётся 4 варианта.
3. Определим количество вариантов для третьей цифры (единицы): Остаётся 3 варианта.

Общее количество трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов на каждой позиции:

\[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

Используя формулу размещений:

\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

Таким образом, можно составить 60 различных трёхзначных чисел.

Ответ: 60