7. Решите уравнение: a) 2\(\frac{1}{2}\) : (\(\frac{1}{2}x + \frac{5}{12}\)) - 1\(\frac{5}{6}\) = \(\frac{2}{3}\);

Решение:

Сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\[ 2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} \]

\[ 1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6} \]

Подставим их в уравнение:

\[ \frac{5}{2} : \left( \frac{1}{2}x + \frac{5}{12} \right) - \frac{11}{6} = \frac{2}{3} \]

Перенесём \(\frac{11}{6}\) в правую часть уравнения:

\[ \frac{5}{2} : \left( \frac{1}{2}x + \frac{5}{12} \right) = \frac{2}{3} + \frac{11}{6} \]

Приведём правую часть к общему знаменателю:

\[ \frac{5}{2} : \left( \frac{1}{2}x + \frac{5}{12} \right) = \frac{4}{6} + \frac{11}{6} \]

\[ \frac{5}{2} : \left( \frac{1}{2}x + \frac{5}{12} \right) = \frac{15}{6} \]

Сократим дробь \(\frac{15}{6}\):

\[ \frac{5}{2} : \left( \frac{1}{2}x + \frac{5}{12} \right) = \frac{5}{2} \]

Теперь найдём значение выражения в скобках, разделив \(\frac{5}{2}\) на \(\frac{5}{2}\):

\[ \frac{1}{2}x + \frac{5}{12} = \frac{5}{2} : \frac{5}{2} \]

\[ \frac{1}{2}x + \frac{5}{12} = 1 \]

Перенесём \(\frac{5}{12}\) в правую часть:

\[ \frac{1}{2}x = 1 - \frac{5}{12} \]

\[ \frac{1}{2}x = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} \]

\[ \frac{1}{2}x = \frac{7}{12} \]

Найдём \(x\), умножив \(\frac{7}{12}\) на 2:

\[ x = \frac{7}{12} \cdot 2 \]

\[ x = \frac{14}{12} \]

Сократим дробь:

\[ x = \frac{7}{6} \]

Преобразуем в смешанное число:

\[ x = 1\frac{1}{6} \]

Ответ: \( x = 1\frac{1}{6} \).