7. Решите уравнение 6cos²x+5cos(π/2 - x) = 7.

Решение:

Данное уравнение:

\[ 6\cos^2{x} + 5\cos{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = 7 \]

Используем тригонометрическое тождество:

\[ \cos{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \sin{x} \]

Подставим его в уравнение:

\[ 6\cos^2{x} + 5\sin{x} = 7 \]

Теперь используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1\), откуда \(\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}\):

\[ 6(1 - \sin^2{x}) + 5\sin{x} = 7 \]

Раскроем скобки:

\[ 6 - 6\sin^2{x} + 5\sin{x} = 7 \]

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно \(\sin{x}\):

\[ 6\sin^2{x} - 5\sin{x} + 7 - 6 = 0 \]\[ 6\sin^2{x} - 5\sin{x} + 1 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin{x} \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 6t^2 - 5t + 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \sin{x} \):

• Случай 1: \( \sin{x} = \frac{1}{2} \)

Решения этого уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \( \sin{x} = \frac{1}{3} \)

Решения этого уравнения:

\[ x = \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k, \quad x = \pi - \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Объединяя все решения, получаем:

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \), \( x = \pi - \arcsin{\left(\frac{1}{3}\right)} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).