7. При каком значении параметра р линейная комбинация pa + 3b равна вектору c = (3; 4), если a = (1-p; p) и b = (p²; 1)?

Решение:

Даны векторы \( \vec{a} = (1-p; p) \), \( \vec{b} = (p^2; 1) \) и \( \vec{c} = (3; 4) \).

Линейная комбинация \( p\vec{a} + 3\vec{b} \) равна вектору \( \vec{c} \) при заданном \( p \).

Запишем это в виде уравнения:

\[ p(1-p; p) + 3(p^2; 1) = (3; 4) \]

Раскроем скобки и умножим векторы на скаляры:

\[ (p(1-p); p \cdot p) + (3p^2; 3) = (3; 4) \]\[ (p - p^2; p^2) + (3p^2; 3) = (3; 4) \]

Сложим векторы в левой части:

\[ (p - p^2 + 3p^2; p^2 + 3) = (3; 4) \]\[ (p + 2p^2; p^2 + 3) = (3; 4) \]

Теперь приравняем соответствующие компоненты векторов:

1. Компонента x: \( p + 2p^2 = 3 \)
2. Компонента y: \( p^2 + 3 = 4 \)

Решим второе уравнение, так как оно проще:

\[ p^2 + 3 = 4 \]\[ p^2 = 4 - 3 \]\[ p^2 = 1 \]\[ p = \pm 1 \]

Теперь проверим, удовлетворяет ли \( p = 1 \) и \( p = -1 \) первому уравнению \( p + 2p^2 = 3 \).

Случай 1: \( p = 1 \)

\[ 1 + 2(1)^2 = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3 \]

Первое уравнение выполняется.

Случай 2: \( p = -1 \)

\[ -1 + 2(-1)^2 = -1 + 2(1) = -1 + 2 = 1 \]

Второе уравнение не выполняется, так как \( 1 \neq 3 \).

Следовательно, единственным значением параметра \( p \), при котором выполняется оба условия, является \( p = 1 \).

Ответ: 1