7. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители: a) 8x³ – 1; б) 1 + 27y³; в) 8 – (1/8)a³; г) (1/64)m³ + 1000; д) 125a³ - 64b³; е) (1/27)x³ + (1/125)y³.

Решение:

Будем использовать формулы разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) и суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \).

а) \( 8x^3 - 1 \)

1. Представим выражение в виде разности кубов: \( (2x)^3 - 1^3 \)
2. Применим формулу разности кубов: \( (2x - 1)((2x)^2 + 2x · 1 + 1^2) \)
3. Упростим: \( (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \)

б) \( 1 + 27y^3 \)

1. Представим выражение в виде суммы кубов: \( 1^3 + (3y)^3 \)
2. Применим формулу суммы кубов: \( (1 + 3y)(1^2 - 1 · 3y + (3y)^2) \)
3. Упростим: \( (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2) \)

в) \( 8 - \frac{1}{8}a^3 \)

1. Представим выражение в виде разности кубов: \( 2^3 - (\frac{1}{2}a)^3 \)
2. Применим формулу разности кубов: \( (2 - \frac{1}{2}a)(2^2 + 2 · \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2) \)
3. Упростим: \( (2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2) \)

г) \( \frac{1}{64}m^3 + 1000 \)

1. Представим выражение в виде суммы кубов: \( (\frac{1}{4}m)^3 + 10^3 \)
2. Применим формулу суммы кубов: \( (\frac{1}{4}m + 10)((\frac{1}{4}m)^2 - \frac{1}{4}m · 10 + 10^2) \)
3. Упростим: \( (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100) \)

д) \( 125a^3 - 64b^3 \)

1. Представим выражение в виде разности кубов: \( (5a)^3 - (4b)^3 \)
2. Применим формулу разности кубов: \( (5a - 4b)((5a)^2 + 5a · 4b + (4b)^2) \)
3. Упростим: \( (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2) \)

е) \( \frac{1}{27}x^3 + \frac{1}{125}y^3 \)

1. Представим выражение в виде суммы кубов: \( (\frac{1}{3}x)^3 + (\frac{1}{5}y)^3 \)
2. Применим формулу суммы кубов: \( (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)((\frac{1}{3}x)^2 - \frac{1}{3}x · \frac{1}{5}y + (\frac{1}{5}y)^2) \)
3. Упростим: \( (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2) \)

Ответ: а) \( (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \); б) \( (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2) \); в) \( (2 - \frac{1}{2}a)(4 + a + \frac{1}{4}a^2) \); г) \( (\frac{1}{4}m + 10)(\frac{1}{16}m^2 - \frac{5}{2}m + 100) \); д) \( (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2) \); е) \( (\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}y)(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{15}xy + \frac{1}{25}y^2) \).