7 Найдите значение выражения при a = √42.

Решение:

1. Упростим выражение:
• Дано выражение: \[ \frac{7(3a^4)^2}{a^3 a^7} \]
• Сначала раскроем квадрат в числителе:
• \[ (3a^4)^2 = 3^2 imes (a^4)^2 = 9a^{4 imes 2} = 9a^8 \]
• Теперь подставим это обратно в дробь:
• \[ \frac{7 imes 9a^8}{a^3 a^7} \]
• Умножим числа в числителе:
• \[ \frac{63a^8}{a^3 a^7} \]
• Сложим степени в знаменателе (при умножении степени складываются):
• \[ a^3 a^7 = a^{3+7} = a^{10} \]
• Теперь выражение выглядит так:
• \[ \frac{63a^8}{a^{10}} \]
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя:
• \[ 63a^{8-10} = 63a^{-2} \]
• Отрицательная степень означает обратную величину:
• \[ 63a^{-2} = \frac{63}{a^2} \]
2. Подставим значение a = √42:
• Мы получили упрощенное выражение \[ \frac{63}{a^2} \].
• Подставим a = √42:
• \[ a^2 = (\sqrt{42})^2 = 42 \]
• Теперь подставим это значение в дробь:
• \[ \frac{63}{42} \]
3. Сократим дробь:
• Оба числа, 63 и 42, делятся на 7:
• \[ 63 ÷ 7 = 9 \]
• \[ 42 ÷ 7 = 6 \]
• Дробь становится:
• \[ \frac{9}{6} \]
• Оба числа, 9 и 6, делятся на 3:
• \[ 9 ÷ 3 = 3 \]
• \[ 6 ÷ 3 = 2 \]
• Окончательная дробь:
• \[ \frac{3}{2} \]
• В виде десятичной дроби это равно 1.5.

Ответ: 3/2