7. Найдите значение выражения 15 ⋅ (k²-l²)/(k-l)² ⋅ (k²+l²)/(k+l)² при k = 2√3 и l = √2.

Решение:

Сначала упростим выражение:

• Знаменатель первой дроби (k-l)² и второй дроби (k+l)² оставим без изменений.
• Числитель первой дроби (k²-l²) можно разложить как разность квадратов: (k-l)(k+l).
• Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ 15 \cdot \frac{(k-l)(k+l)}{(k-l)^2} \cdot \frac{k^2+l^2}{(k+l)^2} \]

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

• (k-l) в числителе сокращается с одним (k-l) в знаменателе первой дроби.
• (k+l) в числителе первой дроби сокращается с одним (k+l) в знаменателе второй дроби.

После сокращения получаем:

\[ 15 \cdot \frac{1}{k-l} \cdot \frac{k^2+l^2}{k+l} = 15 \cdot \frac{k^2+l^2}{(k-l)(k+l)} \]

Знаменатель (k-l)(k+l) снова является разностью квадратов: k²-l².

Итоговое упрощенное выражение:

\[ 15 \cdot \frac{k^2+l^2}{k^2-l^2} \]

Теперь подставим заданные значения k = 2√3 и l = √2:

• k² = (2√3)² = 2² ⋅ (√3)² = 4 ⋅ 3 = 12
• l² = (√2)² = 2

Подставляем значения k² и l² в упрощенное выражение:

\[ 15 \cdot \frac{12+2}{12-2} = 15 \cdot \frac{14}{10} \]

Вычислим результат:

\[ 15 \cdot \frac{14}{10} = 15 \cdot \frac{7}{5} = \frac{15 \cdot 7}{5} = 3 \cdot 7 = 21 \]

Ответ: 21