№7. Найдите угол ∠D, если AD и CD — биссектрисы внешних углов ΔABC.

Решение:

Введём обозначения для внешних углов при вершинах A и C треугольника ABC. Пусть внешний угол при вершине A равен \( \alpha \), а внешний угол при вершине C равен \( \gamma \).

Так как AD — биссектриса внешнего угла при вершине A, то \( \angle CAD = \frac{\alpha}{2} \).

Так как CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, то \( \angle ACD = \frac{\gamma}{2} \).

Сумма внешних углов треугольника ABC при вершинах A и C равна \( \alpha + \gamma \).

Угол \( \angle B = 116^{\circ} \). Внешний угол при вершине B равен \( 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \).

Сумма внешних углов треугольника равна \( 360^{\circ} \). Следовательно, \( \alpha + \gamma + 64^{\circ} = 360^{\circ} \).

Отсюда, \( \alpha + \gamma = 360^{\circ} - 64^{\circ} = 296^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов в треугольнике ADC равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle D + \angle CAD + \angle ACD = 180^{\circ} \)

\( \angle D + \frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2} = 180^{\circ} \)

\( \angle D + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 180^{\circ} \)

Подставим значение \( \alpha + \gamma = 296^{\circ} \):

\( \angle D + \frac{296^{\circ}}{2} = 180^{\circ} \)

\( \angle D + 148^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle D = 180^{\circ} - 148^{\circ} \)

\( \angle D = 32^{\circ} \)

Ответ: \( \angle D = 32^{\circ} \).