7. Найдите такое наименьшее натуральное значение числа n, при котором число 24 · n будет полным квадратом, а число 36 · n — полным кубом. Варианты: 24, 12, 6, 18.

Разложим числа на простые множители: \(24=2^3\cdot3\), \(36=2^2\cdot3^2\).

Чтобы \(24n\) было квадратом, показатели простых множителей должны быть чётными. Поэтому в разложении \(n\) показатели при 2 и 3 должны быть нечётными.

Чтобы \(36n\) было кубом, показатели должны делиться на 3. Так как в 36 показатели при 2 и 3 равны 2, соответствующие показатели в \(n\) должны давать сумму, кратную 3.

Наименьший показатель, который одновременно нечётный и удовлетворяет этому условию, равен 1 для каждого простого множителя. Значит, наименьшее \(n=2\cdot3=6\).

Проверка: \(24\cdot6=144=12^2\), а \(36\cdot6=216=6^3\).

Ответ: 6 (вариант 3).