7. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 5/3

Решение:

В правильной шестиугольной призме все ребра равны, то есть сторона основания \( a = 5/3 \) и высота призмы \( h = 5/3 \).

Объем призмы вычисляется по формуле: \( V = S_{осн} \cdot h \).

Площадь основания правильного шестиугольника: \( S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \).

Подставим значение стороны основания \( a = 5/3 \):

\( S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25}{9} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25}{3} = \frac{25\sqrt{3}}{6} \).

Теперь найдем объем, используя высоту \( h = 5/3 \):

\( V = S_{осн} \cdot h = \frac{25\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{5}{3} = \frac{125\sqrt{3}}{18} \).

Ответ: \(\frac{125\sqrt{3}}{18}\).