7. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2√6 см, и углом 30°.

Решение:

Пусть прямоугольный треугольник имеет гипотенузу \( c = 2\sqrt{6} \) см и угол \( \alpha = 30° \). Вращение происходит вокруг большего катета.

1. Найдем катеты треугольника. Пусть \( a \) — катет, противолежащий углу 30°, и \( b \) — катет, прилежащий к углу 30° (больший катет, вокруг которого происходит вращение).
2. Катет \( a \) (меньший): \( a = c \sin(\alpha) = 2\sqrt{6} \sin(30°) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{6} \) см.
3. Катет \( b \) (больший): \( b = c \cos(\alpha) = 2\sqrt{6} \cos(30°) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) см.
4. При вращении вокруг большего катета \( b \), он становится высотой конуса \( h = b = 3\sqrt{2} \) см, а меньший катет \( a \) становится радиусом основания конуса \( r = a = \sqrt{6} \) см.
5. Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
6. Подставим значения: \( V = \frac{1}{3}\pi (\sqrt{6})^2 (3\sqrt{2}) = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 \cdot 3\sqrt{2} = \pi \cdot 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\pi \) см³.

Ответ: 6√2π см³.