7. Найдите для функции y = 5/x: а) область определения; б) множество значений; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки монотонности.

Анализ функции y = 5/x:

Данная функция является гиперболой.

а) Область определения:

Область определения функции — это все значения x, для которых функция определена. В данном случае функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при x = 0.

\[ D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \] (Все действительные числа, кроме нуля).

б) Множество значений:

Множество значений функции — это все возможные значения y, которые функция может принимать. Так как 5 (числитель) — ненулевое число, знаменатель x никогда не сможет быть таким, чтобы y стал равен 0.

\[ E(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \] (Все действительные числа, кроме нуля).

в) Промежутки знакопостоянства:

Функция положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Так как числитель (5) положителен, функция будет положительна, когда знаменатель (x) также положителен.

• y > 0 при x > 0 (интервал (0; +∞))
• y < 0 при x < 0 (интервал (-∞; 0))

г) Промежутки монотонности:

Функция убывает на всей своей области определения.

• Функция убывает на интервале (-∞; 0).
• Функция убывает на интервале (0; +∞).

Итоговый ответ:

• а) Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
• б) Множество значений: \( E(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
• в) Промежутки знакопостоянства: \( y > 0 \) при \( x \in (0; +\infty) \), \( y < 0 \) при \( x \in (-\infty; 0) \)
• г) Промежутки монотонности: Функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и на \( (0; +\infty) \).