7. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Доказательство:

Дано:

• \( \triangle ABC \)
• Точки D, E на AC
• AD = CE
• BD = BE

Доказать:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный (AB = BC)

Ход доказательства:

1. Рассмотрим \( \triangle BDE \). Так как BD = BE, то \( \triangle BDE \) — равнобедренный.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle BDE = \angle BED \).
3. Углы \( \angle BDE \) и \( \angle ABC \) смежные с \( \angle ADB \) и \( \angle ABE \) соответственно. Углы \( \angle BED \) и \( \angle CBE \) смежные с \( \angle BEC \) и \( \angle BDA \) соответственно.
4. Углы \( \angle ADB \) и \( \angle BEC \) — это внешние углы для \( \triangle BDE \) при вершинах D и E соответственно.
5. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов.
6. Смежные углы дают в сумме 180 градусов. \( \angle BDE + \angle BDA = 180^\circ \), \( \angle BED + \angle BEC = 180^\circ \).
7. Так как \( \angle BDE = \angle BED \), то \( 180^\circ - \angle BDA = 180^\circ - \angle BEC \) \( \Rightarrow \angle BDA = \angle BEC \).
8. Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBE \).
9. У нас есть:
• AD = CE (по условию)
• BD = BE (по условию)
• \( \angle ADB = \angle BEC \) (доказано выше)
10. По стороне, углу между ними и стороне (СУС) \( \triangle ABD = \triangle CBE \).
11. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:
• AB = BC
• \( \angle BAD = \angle BCE \) (т.е. \( \angle A = \angle C \))
12. Так как AB = BC, то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.