7. log2(x²-2x) ≥3

Решение:

Неравенство имеет вид \( \log_2 (x^2-2x) \ge 3 \).

Приведём правую часть к логарифму по основанию 2:

\( 3 = \log_2 2^3 = \log_2 8 \)

Неравенство принимает вид:

\( \log_2 (x^2-2x) \ge \log_2 8 \)

Поскольку основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( y = \log_2 x \) возрастающая. Переходим к сравнению аргументов, сохраняя знак неравенства:

\( x^2-2x \ge 8 \)

\( x^2-2x-8 \ge 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2-2x-8 \).

\( x^2-2x-8 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).

Корни: \( x_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2} = -2 \)

\( x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2} = 4 \)

Парабола \( y = x^2-2x-8 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2-2x-8 \ge 0 \) при \( x \le -2 \) или \( x \ge 4 \).

Также необходимо учесть область определения логарифма: \( x^2-2x > 0 \).

\( x(x-2) > 0 \)

Это неравенство выполняется при \( x < 0 \) или \( x > 2 \).

Теперь объединим все условия:

1. \( x \le -2 \) или \( x \ge 4 \)

2. \( x < 0 \) или \( x > 2 \)

Пересечение этих условий:

Из \( x \le -2 \) и \( x < 0 \) получаем \( x \le -2 \).

Из \( x \ge 4 \) и \( x > 2 \) получаем \( x \ge 4 \).

Таким образом, решением является \( x \le -2 \) или \( x \ge 4 \).

Ответ: \( x \le -2 \) или \( x \ge 4 \).