7. Концентрация атомов гелия, находящегося в сосуде под подвижным поршнем, увеличи-лась в 6 раз. Давление газа при этом возросло в 2 раза. Во сколько раз уменьшилась при этом средняя энергия теплового движения атомов гелия?

Решение:

Средняя энергия теплового движения атомов идеального газа зависит только от температуры и не зависит от концентрации или давления.

Формула средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы (атома) газа:

\[ E_{ср} = \frac{3}{2} k T \] где \( k \) — постоянная Больцмана, \( T \) — абсолютная температура.

Согласно закону Шарля (для изобарного процесса) или объединенному газовому закону, давление газа прямо пропорционально температуре при постоянном объеме, а при постоянном давлении — прямо пропорционально температуре.

Из условия задачи известно, что концентрация газа увеличилась в 6 раз, а давление возросло в 2 раза.

По закону Менделеева-Клапейрона:

\[ PV = \nu RT \] или, выражая через концентрацию \( n = N/V \) и число Авогадро \( N_A \) (где \( N \) — число частиц, \( R = N_A k \)):

\[ P = nkT \] где \( P \) — давление, \( n \) — концентрация, \( k \) — постоянная Больцмана, \( T \) — температура.

Обозначим начальные значения как \( P_1, n_1, T_1 \) и конечные как \( P_2, n_2, T_2 \).

Из условия:

• \( n_2 = 6 n_1 \)
• \( P_2 = 2 P_1 \)

Подставим это в уравнение \( P = nkT \) для двух состояний:

• \( P_1 = n_1 k T_1 \)
• \( P_2 = n_2 k T_2 \)

Разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 k T_2}{n_1 k T_1} \] \( \frac{2 P_1}{P_1} = \frac{6 n_1 T_2}{n_1 T_1} \)

\[ 2 = 6 \frac{T_2}{T_1} \] \( \frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Таким образом, температура газа уменьшилась в 3 раза.

Средняя энергия теплового движения атомов гелия пропорциональна температуре:

\[ E_{ср} \propto T \] Значит, если температура уменьшилась в 3 раза, то и средняя энергия теплового движения атомов гелия уменьшилась в 3 раза.

Ответ: средняя энергия теплового движения атомов гелия уменьшилась в 3 раза.