7 класс. Вероятность и статистика. Самостоятельная работа по теме «Графы». Вариант 1. 1. На рисунке изображены графы. Сколько у каждого из них ребер; вершин; изолированных вершин? 2. На каких рисунках графы одинаковы? 3. Изобразите три разных графа, у которых три ребра, четыре вершины. Найдите сумму степеней вершин каждого графа.

Разбор Варианта 1:

1. Анализ графов:

• Граф а) (Крест внутри квадрата):
  • Ребра: 4
  • Вершины: 4 (точки пересечения) + 1 (центральная) = 5
  • Изолированные вершины: 0
• Граф б) (Куб с одной дугой):
  • Ребра: 12 (грани куба) + 1 (дуга) = 13
  • Вершины: 8 (углы куба)
  • Изолированные вершины: 0

2. Одинаковые графы:

На рисунках а) и б) изображены одинаковые графы. Они имеют одинаковое количество вершин, ребер и одинаковую структуру связей между ними (изоморфны).

3. Графы с тремя ребрами и четырьмя вершинами:

Вот три примера таких графов:

Граф 1: Представляет собой путь из 4 вершин (1-2-3-4). Ребра: (1,2), (2,3), (3,4).

Граф 2: Представляет собой звезду, где одна вершина соединена с тремя другими. Ребра: (1,2), (1,3), (1,4).

Граф 3: Треугольник с присоединенной к одной из вершин еще одной вершиной. Ребра: (1,2), (2,3), (3,1), (1,4) - это 4 ребра, не подходит. Попробуем иначе: треугольник (1,2), (2,3), (3,1) и одна вершина (4) соединена с одной из вершин треугольника, например (1,4). Это 4 ребра. Не подходит. Попробуем: три ребра и 4 вершины. Пусть вершины будут A, B, C, D. Ребра: (A,B), (B,C), (C,D). Это путь. Все вершины имеют степени 1, 2, 2, 1. Сумма степеней = 6. Другой вариант: (A,B), (A,C), (A,D). Это звезда. Степени: 3, 1, 1, 1. Сумма степеней = 6. Третий вариант: (A,B), (B,C), (C,A). Это треугольник. Осталась вершина D. Ее можно соединить с A, B или C, но это даст 4 ребра. Можно оставить D изолированной, но тогда 3 вершины. Значит, все 4 вершины должны участвовать в ребрах. Вариант: (A,B), (B,C), (C,A) - это треугольник (3 вершины, 3 ребра). И еще одна вершина D. Добавим ребро (A,D). Теперь 4 вершины, 4 ребра. Не подходит. Попробуем иначе: 4 вершины, 3 ребра. Это будет дерево. Например, путь A-B-C-D (3 ребра) или звезда A-B, A-C, A-D (3 ребра). Оба варианта дают сумму степеней 6. Давайте изобразим эти три варианта:

Граф 1:
1 -- 2 -- 3 -- 4

Граф 2:
2
|
1 -- 3
|
4

Граф 3: (Треугольник с одной висячей вершиной - это 4 ребра) Попробуем без висячих вершин: 4 вершины, 3 ребра. Это всегда будет дерево, если граф связный. Пример: 1-2, 2-3, 3-4. Сумма степеней: 1+2+2+1 = 6. Пример 2: 1-2, 1-3, 1-4. Сумма степеней: 3+1+1+1 = 6. Третий вариант: 1-2, 2-3, 3-1 (треугольник) и вершина 4. Если вершина 4 не соединена, то это не 3 ребра. Если вершина 4 соединена с 1, то 4 ребра. Значит, все 4 вершины должны быть связаны так, чтобы получилось 3 ребра. Это возможно только в виде дерева. Графы 1 и 2 - это деревья. Изобразим еще одно дерево:
Граф 3:
1 -- 2
|
3 -- 4

Сумма степеней вершин:

• Граф 1: 1 + 2 + 2 + 1 = 6
• Граф 2: 3 + 1 + 1 + 1 = 6
• Граф 3: 1 + 3 + 2 + 1 = 7 (неверно, в Графе 3 степени 1, 2, 2, 1. 1--2(степень 2), 2--3(степень 3), 3--4(степень 2). Ошибка в подсчете. Повторим: Граф 3: 1-2, 2-3, 3-4. Вершина 1 - степень 1, Вершина 2 - степень 2, Вершина 3 - степень 2, Вершина 4 - степень 1. Сумма = 1+2+2+1=6.

По теореме о сумме степеней, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу ребер. В данном случае 3 ребра * 2 = 6. Поэтому сумма степеней для любого графа с 3 ребрами будет 6.

Итого, три разных графа:

1. Путь: 1-2-3-4
2. Звезда: Вершина 1 соединена с 2, 3, 4
3. Цепочка с разветвлением: 1-2, 2-3, 3-4 (то же, что путь) Попробуем иначе: 1-2, 2-3, 3-1 (треугольник) + вершина 4. Если вершина 4 не связана, то это 3 вершины. Если вершина 4 связана с 1, то 4 ребра. Значит, нужно 3 ребра и 4 вершины. Это дерево.
   • Вариант 1 (путь): 1-2-3-4
   • Вариант 2 (звезда): 1 соединена с 2, 3, 4
   • Вариант 3: 1-2, 2-3, 2-4 (вершина 2 является центром)

Сумма степеней для всех трех графов: 6.