7 класс. Карточка 3. 1. Сравнение отрезков. Измерение отрезков. 2. Третий признак равенства треугольников. Доказательство. 3. На рисунке a || b, ∡3 = 102°. Найдите остальные семь углов.

Решение:

1. Сравнение отрезков. Измерение отрезков.

Эти пункты являются общими темами, которые не требуют конкретного решения без дополнительных данных или заданий.

2. Третий признак равенства треугольников. Доказательство.

Признак: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (по трем сторонам, III признак).

Доказательство (общая схема):

1. Рассмотрим два треугольника, например, ΔABC и ΔA'B'C'.
2. Предположим, что AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.
3. Наложим ΔABC на ΔA'B'C' так, чтобы сторона AB совпала со стороной A'B'.
4. Так как AC = A'C' и BC = B'C', то точки C и C' совпадут.
5. Следовательно, ΔABC равен ΔA'B'C'.

3. На рисунке a || b, ∡3 = 102°. Найдите остальные семь углов.

На рисунке представлены два параллельных прямых a и b, пересеченные секущей (обозначенной как c). Углы пронумерованы:

Дано:

• $$a \parallel b$$
• $$\\angle 3 = 102^{\\circ}$$

Найти: $$\\angle 1, \\angle 2, \\angle 4, \\angle 5, \\angle 6, \\angle 7, \\angle 8$$.

Решение:

1. Углы 3 и 1 — смежные. Сумма смежных углов равна 180°.
• $$\\angle 1 + \\angle 3 = 180^{\\circ}$$
• $$\\angle 1 = 180^{\\circ} - \\angle 3 = 180^{\\circ} - 102^{\\circ} = 78^{\\circ}$$
2. Углы 3 и 2 — вертикальные. Вертикальные углы равны.
• $$\\angle 2 = \\angle 3 = 102^{\\circ}$$
3. Углы 1 и 4 — вертикальные. Вертикальные углы равны.
• $$\\angle 4 = \\angle 1 = 78^{\\circ}$$
4. Углы 3 и 6 — соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей c. Соответственные углы равны.
• $$\\angle 6 = \\angle 3 = 102^{\\circ}$$
5. Углы 4 и 5 — соответственные углы.
• $$\\angle 5 = \\angle 4 = 78^{\\circ}$$
6. Углы 6 и 7 — смежные.
• $$\\angle 7 = 180^{\\circ} - \\angle 6 = 180^{\\circ} - 102^{\\circ} = 78^{\\circ}$$
7. Углы 5 и 8 — вертикальные.
• $$\\angle 8 = \\angle 5 = 78^{\\circ}$$

Проверка:

Углы 1, 2, 3, 4 относятся к одной точке пересечения, углы 5, 6, 7, 8 — к другой.

Первая точка пересечения:

• $$\\angle 1 = 78^{\\circ}$$
• $$\\angle 2 = 102^{\\circ}$$
• $$\\angle 3 = 102^{\\circ}$$
• $$\\angle 4 = 78^{\\circ}$$

Вторая точка пересечения:

• $$\\angle 5 = 78^{\\circ}$$
• $$\\angle 6 = 102^{\\circ}$$
• $$\\angle 7 = 78^{\\circ}$$
• $$\\angle 8 = 102^{\\circ}$$

Ответ: $$\\angle 1 = 78^{\\circ}, \\angle 2 = 102^{\\circ}, \\angle 4 = 78^{\\circ}, \\angle 5 = 78^{\\circ}, \\angle 6 = 102^{\\circ}, \\angle 7 = 78^{\\circ}, \\angle 8 = 102^{\\circ}$$.