7 класс Карточка 12 1. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. 2. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный данному. 3. На рисунке BC || AD, BC = AD. Докажите, что АВ = CD. Найдите ∠BAC, если ∠DCA = 85°.

Решение:

3. Доказательство равенства отрезков AB и CD:

Нам дано, что \( BC \parallel AD \) и \( BC = AD \). Это означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом по признаку параллелограмма (если одна пара сторон параллельна и равна).

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, \( AB = CD \).

Нахождение угла ∠BAC:

Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные углы равны. Следовательно, \( \angle ABC = \angle ADC \) и \( \angle BAD = \angle BCD \).

Нам дано \( \angle DCA = 85^{\circ} \).

Угол \( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA \).

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ} \)

\( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle ADC \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Он прямоугольный, так как \( \angle ABC = 90^{\circ} \) (по условию на рисунке показан прямой угол при B).

Поскольку \( BC \parallel AD \), то \( \angle BCA = \angle CAD \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

Нам дано \( \angle DCA = 85^{\circ} \).

В параллелограмме \( \angle BCD = \angle BAC + \angle CAD \).

Мы знаем, что \( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA \).

Так как \( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle BCA \) (в прямоугольном \( \triangle ABC \)) и \( \angle CAD = \angle BCA \).

Тогда \( \angle BCD = \angle BCA + 85^{\circ} \).

Также \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \).

Так как \( \angle BAD = \angle BCD \), то \( \angle BAC + \angle CAD = \angle BCA + \angle DCA \).

\( \angle BAC + \angle BCA = \angle BCA + 85^{\circ} \).

\( \angle BAC = 85^{\circ} \).

Проверка:

Если \( \angle BAC = 85^{\circ} \) и \( \angle ABC = 90^{\circ} \), то \( \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 85^{\circ} = 5^{\circ} \).

Тогда \( \angle CAD = \angle BCA = 5^{\circ} \) (накрест лежащие).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 5^{\circ} + 85^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 85^{\circ} + 5^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle BAD = \angle BCD = 90^{\circ} \). Это противоречит тому, что ABCD — параллелограмм, если только это не прямоугольник.

Давайте пересмотрим условие. Угол при B показан как прямой, а угол при C в \( \triangle ADC \) равен \( 85^{\circ} \). Рисунок имеет прямоугольный угол при B, что означает, что \( AB \perp BC \).

Если \( BC \parallel AD \) и \( AB \perp BC \), то \( AB \perp AD \), следовательно, \( \angle BAD = 90^{\circ} \).

Так как ABCD — параллелограмм, то \( \angle BCD = \angle BAD = 90^{\circ} \).

Но нам дано \( \angle DCA = 85^{\circ} \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 90^{\circ} \).

\( \angle BCA + 85^{\circ} = 90^{\circ} \).

\( \angle BCA = 90^{\circ} - 85^{\circ} = 5^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle ABC \):

\( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle BCA = 90^{\circ} - 5^{\circ} = 85^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle BAC = 85^{\circ} \).

Ответ: \( \angle BAC = 85^{\circ} \).