7 класс К-5, В-2 1. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причём FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE. 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу. 3. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 135°; 45°.

Задание 1: Расстояние от точки F до прямой DE.

Дано:

• △DCE — прямоугольный (WT^C = 90°)
• EF — биссектриса WT^C
• FC = 13 см

Найти: Расстояние от точки F до прямой DE.

Решение:

1. Так как EF — биссектриса WT^C, то WT^CEF = WT^DEF = \( \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
2. В прямоугольном треугольнике CEF: WT^EFC = \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
3. Следовательно, △CEF — равнобедренный с основанием EF, и CE = CF.
4. По условию FC = 13 см, значит, CE = 13 см.
5. Рассмотрим △DCE. Так как WT^C = 90° и EF — биссектриса, то WT^CEF = 45°.
6. Из △CEF имеем CE = 13 см.
7. Пусть h — расстояние от точки F до прямой DE. Это высота, опущенная из вершины F на гипотенузу DE в △DFE.
8. В △DFE: WT^E = 45° (из △CEF).
9. WT^D = \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
10. Таким образом, △DFE — равнобедренный прямоугольный треугольник с WT^F = 90°.
11. Стороны DE и FE являются катетами, а CD — гипотенузой.
12. В △DFE, EF = FD.
13. Площадь △DFE равна \( \frac{1}{2} \cdot EF \cdot FD = \frac{1}{2} \cdot EF^2 \).
14. Площадь △DFE также равна \( \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h \).
15. В △DCE, по теореме Пифагора, DE = \( \sqrt{CD^2 - CE^2} \).
16. Мы не знаем CD или DE. Давайте переосмыслим.
17. Из △CEF, CE = 13 см.
18. Так как EF — биссектриса, то расстояние от F до DE равно расстоянию от F до CE (или CD).
19. Опустим перпендикуляр из F на CD, пусть он пересекает CD в точке K.
20. Тогда FK — искомое расстояние.
21. △CFK — прямоугольный, WT^C = 90°, WT^CEF = 45°.
22. △CEF — равнобедренный, CE = CF = 13 см.
23. Рассмотрим △DFE. Угол WT^E = 45°.
24. По теореме о биссектрисе: \( \frac{CD}{CE} = \frac{DF}{EF} \).
25. В △DCE: CD = \( \sqrt{DE^2 + CE^2} \).
26. В △DFE, EF = FD.
27. В △DCE, CE=13.
28. Если EF — биссектриса, то расстояние от F до DE равно расстоянию от F до CE.
29. Опустим перпендикуляр FK из F на CD. Тогда FK = CE = 13 см.
30. В △CEF, WT^EFC = 45°.
31. В △DFE, WT^E = 45°.
32. Угол WT^DFE = 90°.
33. Значит, △DFE — равнобедренный, EF = FD.
34. По теореме о биссектрисе: \( \frac{CD}{CE} = \frac{DF}{EF} \).
35. Так как EF = FD, то \( \frac{CD}{CE} = 1 \), что означает CD = CE.
36. Но CD — гипотенуза, а CE — катет, поэтому CD > CE. Это противоречие.
37. Перечитаем условие. EF — биссектриса угла C.
38. Пусть расстояние от F до DE будет h.
39. Так как EF — биссектриса WT^C, то точки на биссектрисе равноудалены от сторон угла.
40. Значит, расстояние от F до CD равно расстоянию от F до CE.
41. Расстояние от F до CD — это перпендикуляр из F на CD. Пусть он будет FK.
42. Расстояние от F до CE — это перпендикуляр из F на CE. Это сам отрезок FC, так как WT^C = 90°.
43. Значит, FK = FC = 13 см.
44. Но FK — это расстояние от F до прямой DE, так как DE совпадает с прямой CD.
45. Значит, искомое расстояние равно 13 см.

Ответ: 13 см.

Задание 2: Построение прямоугольного треугольника.

Условие: Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу.

Построение:

1. Проведем прямую.
2. На этой прямой отметим точку C.
3. Из точки C проведем перпендикуляр CD (это будет один катет).
4. Из точки C отложим угол WT^DCE, равный заданному острому углу (это второй катет, прилежащий к углу D).
5. На луче CD отложим отрезок заданной длины (это катет CE).
6. Через точку E проведем прямую, параллельную CD.
7. Точка пересечения этой прямой с лучом DE будет вершина A.
8. △ADE — искомый прямоугольный треугольник.

Построение с использованием SVG:

Примечание: Катет CD — основание, катет CE — высота. Угол WT^A = WT^D = α.

Задание 3: Построение углов.

3.1. Построение угла 135°

1. Построим прямой угол (90°), используя циркуль и линейку.
2. Разделим один из прямых углов пополам, получив угол 45°.
3. Суммируем прямой угол (90°) и полученный угол (45°).
4. 90° + 45° = 135°.

Построение угла 135° с использованием SVG:

3.2. Построение угла 45°

1. Построим прямой угол (90°) с помощью циркуля и линейки.
2. Разделим этот прямой угол пополам. Для этого проведём биссектрису.
3. Полученный угол будет равен 45°.

Построение угла 45° с использованием SVG: