7. Из вершины развёрнутого угла АВС (рис. 86) проведены два луча ВН и BF так, что ∠ABF = 107°, ∠HBC = 95°. Вычислите величину угла HBF.

Решение:

Развёрнутый угол ABC равен \( 180^{\circ} \).

Из условия задачи мы знаем, что \( \angle ABF = 107^{\circ} \) и \( \angle HBC = 95^{\circ} \).

Угол ABC складывается из углов ABF, FBH и HBC, но мы должны учесть, что лучи BH и BF проведены из вершины развёрнутого угла. Это означает, что луч BH находится внутри угла ABC, а луч BF может быть как внутри, так и снаружи. Однако, по условию \( \angle ABF = 107^{\circ} \), что меньше \( 180^{\circ} \), значит, луч BF находится внутри угла ABC.

Поскольку \( \angle ABC = 180^{\circ} \), мы можем записать:

\( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \)

Или

\( \angle ABC = \angle ABF + \angle FBC \)

Однако, более очевидное представление: \( \angle ABC = \angle ABF + \angle FBC \), где \( \angle FBC = \angle FBH + \angle HBC \).

Или, если мы рассматриваем углы, отложенные от луча BA:

\( \angle ABF = 107^{\circ} \)

\( \angle ABC = 180^{\circ} \)

\( \angle HBC = 95^{\circ} \)

Мы знаем, что \( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \). Следовательно, \( \angle ABH = \angle ABC - \angle HBC = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ} \).

Теперь мы можем найти \( \angle HBF \) как разность между \( \angle ABF \) и \( \angle ABH \):

\( \angle HBF = \angle ABF - \angle ABH \)

\( \angle HBF = 107^{\circ} - 85^{\circ} \)

\( \angle HBF = 22^{\circ} \).

Проверка:

\( \angle ABH + \angle HBF + \angle FBC = 85^{\circ} + 22^{\circ} + 95^{\circ} \) - это не совсем корректно, так как \( \angle FBC \) не равно \( \angle HBC \) напрямую.

Верный подход:

\( \angle ABC = 180^{\circ} \).

\( \angle ABF = 107^{\circ} \).

\( \angle HBC = 95^{\circ} \).

Из \( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \), мы находим \( \angle ABH = 180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ} \).

Так как \( \angle ABF = 107^{\circ} \) и \( \angle ABH = 85^{\circ} \), то \( \angle HBF \) является разностью этих углов, так как луч BH находится внутри угла ABF (поскольку \( 85^{\circ} < 107^{\circ} \)):

\( \angle HBF = \angle ABF - \angle ABH = 107^{\circ} - 85^{\circ} = 22^{\circ} \).

Альтернативный подход:

\( \angle ABC = \angle ABF + \angle FBC = 180^{\circ} \).

\( \angle FBC = 180^{\circ} - \angle ABF = 180^{\circ} - 107^{\circ} = 73^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle FBC = \angle FBH + \angle HBC \).

\( 73^{\circ} = \angle FBH + 95^{\circ} \) - это невозможно, так как \( 73^{\circ} < 95^{\circ} \). Это означает, что луч BF находится внутри угла HBC.

Поэтому, \( \angle HBC = \angle HBF + \angle FBC \).

\( 95^{\circ} = \angle HBF + 73^{\circ} \).

\( \angle HBF = 95^{\circ} - 73^{\circ} = 22^{\circ} \).

Оба подхода дают одинаковый результат.

Ответ: \( \angle HBF = 22^{\circ} \).