7. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Проведем биссектрисы углов B и C — BM и CN соответственно. Точка M лежит на AC, а точка N — на AB.

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle ABC = \angle ACB \).
2. Так как BM и CN — биссектрисы, они делят эти углы пополам:
• \( \angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle ABC \)
• \( \angle ACN = \angle NCB = \frac{1}{2} \angle ACB \)
3. Следовательно, \( \angle ABM = \angle ACN \) и \( \angle MBC = \angle NCB \).
4. Рассмотрим треугольники ABM и ACN:
• AB = AC (по условию, треугольник равнобедренный)
• \( \angle BAM = \angle CAN \) (общий угол A)
• \( \angle ABM = \angle ACN \) (доказано в пункте 3)
5. По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), \( \triangle ABM = \triangle ACN \).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BM = CN.

Вывод: биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

Ответ: Доказано.