7 Деление площадей. Площадь параллелограмма ABCD равна 120 см². На стороне ВС взята точка К, которая является её серединой. Найдите площадь трапеции АКСД.

Решение:

Площадь параллелограмма \( ABCD \) равна \( 120 \) см².

Точка \( K \) — середина стороны \( BC \). Это значит, что \( BK = KC \).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Обозначим высоту, опущенную из \( A \) на \( BC \), как \( h \).

Тогда площадь \( ABCD = BC \cdot h = 120 \) см².

Площадь треугольника \( ABK \) равна \( \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h \). Так как \( BK = \frac{1}{2} BC \), то площадь \( ABK = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} BC \cdot h = \frac{1}{4} BC \cdot h \).

Площадь треугольника \( AKC \) равна \( \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h \). Так как \( KC = \frac{1}{2} BC \), то площадь \( AKC = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} BC \cdot h = \frac{1}{4} BC \cdot h \).

Площадь трапеции \( AKCD \) равна сумме площадей треугольника \( AKC \) и параллелограмма \( AD \) (так как \( AD \) параллельна \( BC \) и \( AD = BC \)).

Площадь трапеции \( AKCD = \text{Площадь } AKC + \text{Площадь } AD \).

Так как \( AD \) параллельна \( BC \) и \( AD = BC \), то \( \text{Площадь } AD = \text{Площадь } ABC \).

Площадь \( ABC = \frac{1}{2} \text{Площадь } ABCD = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60 \) см².

Площадь трапеции \( AKCD \) = Площадь \( AKC + \text{Площадь } AD \) = Площадь \( AKC + \text{Площадь } ABC \).

Также площадь трапеции \( AKCD = \text{Площадь } ABCD - \text{Площадь } ABK \).

Площадь \( ABK = \frac{1}{4} \text{Площадь } ABCD = \frac{1}{4} \cdot 120 = 30 \) см².

Площадь трапеции \( AKCD = 120 - 30 = 90 \) см².

Ответ: 90 см².