7. Дано: ΔABC – равнобедренный, AB + BC = 26, P_ABC = 36. Найти: AB, BC, AC.

Решение:

Поскольку ΔABC – равнобедренный, у него две стороны равны. Возможны два случая:

1. AB = AC.
2. BC = AC.

Рассмотрим первый случай: AB = AC.

Периметр треугольника: \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 36 \).

Из условия: \( AB + BC = 26 \).

Подставим первое уравнение во второе:

\( (AB + BC) + AC = 36 \)

\( 26 + AC = 36 \)

\( AC = 36 - 26 = 10 \) см.

Так как AB = AC, то \( AB = 10 \) см.

Теперь найдём BC:

\( AB + BC = 26 \)

\( 10 + BC = 26 \)

\( BC = 26 - 10 = 16 \) см.

Проверим, может ли существовать такой треугольник. По неравенству треугольника, сумма двух сторон должна быть больше третьей:

\( 10 + 10 > 16 \) \( 20 > 16 \) (верно)

\( 10 + 16 > 10 \) \( 26 > 10 \) (верно)

Значит, первый случай возможен: \( AB = 10 \) см, \( AC = 10 \) см, \( BC = 16 \) см.

Рассмотрим второй случай: BC = AC.

Периметр треугольника: \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 36 \).

Из условия: \( AB + BC = 26 \).

Подставим \( BC = AC \) в уравнение периметра:

\( AB + AC + AC = 36 \)

\( AB + 2AC = 36 \).

Из уравнения \( AB + BC = 26 \) выразим AB:

\( AB = 26 - BC \).

Так как \( BC = AC \), то \( AB = 26 - AC \).

Подставим это выражение в уравнение \( AB + 2AC = 36 \):

\( (26 - AC) + 2AC = 36 \)

\( 26 + AC = 36 \)

\( AC = 36 - 26 = 10 \) см.

Так как \( BC = AC \), то \( BC = 10 \) см.

Теперь найдём AB:

\( AB + BC = 26 \)

\( AB + 10 = 26 \)

\( AB = 26 - 10 = 16 \) см.

Проверим неравенство треугольника:

\( 10 + 10 > 16 \) \( 20 > 16 \) (верно)

\( 10 + 16 > 10 \) \( 26 > 10 \) (верно)

Значит, второй случай также возможен: \( AB = 16 \) см, \( BC = 10 \) см, \( AC = 10 \) см.

Ответ: AB = 10 см, BC = 16 см, AC = 10 см ИЛИ AB = 16 см, BC = 10 см, AC = 10 см.