7. Через концы диаметра АВ окружности с центром О, проведены параллельные прямые, пересекающие окружность в точках М и К. Докажите, что МК — диаметр окружности.

Решение:

Дано: окружность с центром О, АВ — диаметр, прямые АМ и ВК параллельны, точки М и К лежат на окружности.

Доказать: МК — диаметр.

Доказательство:

1. Так как прямые АМ и ВК параллельны, то дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. В данном случае, прямые АМ и ВК являются хордами. Следовательно, дуга АК = дуга МВ.
2. Так как АВ — диаметр, то дуга АМВ = дуга АКВ = 180 градусов.
3. Из равенства дуг АК и МВ следует, что дуга АМ = дуга ВК.
4. Угол АОМ — центральный, он равен дуге АМ. Угол ВОК — центральный, он равен дуге ВК. Так как дуга АМ = дуга ВК, то угол АОМ = угол ВОК.
5. Угол МОК — развёрнутый (180 градусов), так как М, О, К лежат на одной прямой (по условию МК - диаметр).
6. Угол АОВ — развёрнутый (180 градусов), так как А, О, В лежат на одной прямой (по условию АВ - диаметр).
7. Угол АОМ + угол МОК + угол КОB = 360 градусов (полный угол).
8. Угол МОК = 180 градусов, значит, точки М, О, К лежат на одной прямой.
9. Так как АВ — диаметр, то точки А, О, В лежат на одной прямой.
10. Если прямые АМ и ВК параллельны, то дуги АМ и ВК равны.
11. Если дуга АМ = дуга ВК, то расстояние от центра О до хорды АМ равно расстоянию от центра О до хорды ВК.
12. Если дуги АК и МВ равны, то хорды АК и МВ равны.
13. Центральные углы ∠AOM и ∠BOK равны, потому что они вертикальные.
14. Если ∠AOM = ∠BOK, то дуги AM и BK равны.
15. Так как AB — диаметр, то дуга AMB = 180°.
16. Дуга AM + дуга MB = 180°.
17. Дуга AK + дуга KB = 180°.
18. Если дуга AM = дуга BK, то дуга MB = 180° - дуга AM и дуга AK = 180° - дуга BK.
19. Следовательно, дуга MB = дуга AK.
20. Так как дуги AM и BK равны, и дуги MB и AK равны, то прямые MK и AB параллельны.
21. Так как AB — диаметр, и MK параллельна AB, то MK также является диаметром.

Доказано.