7. Биссектриса угла А параллелограмма АBCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 6, СК = 10.

Решение:

Пусть \( AK \) — биссектриса угла \( A \) параллелограмма \( ABCD \).

По условию \( BK = 6 \) и \( CK = 10 \), значит, сторона \( BC = BK + CK = 6 + 10 = 16 \).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \( AD = BC = 16 \).

Так как \( AK \) — биссектриса угла \( A \), то \( \angle BAK = \angle KAD \).

В параллелограмме \( BC \parallel AD \), поэтому \( \angle KAD = \angle AKB \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AK \).

Из равенства \( \angle BAK = \angle KAD \) и \( \angle KAD = \angle AKB \) следует, что \( \angle BAK = \angle AKB \).

Треугольник \( ABK \) является равнобедренным (углы при основании \( BK \) равны), следовательно, \( AB = BK \).

По условию \( BK = 6 \), значит, \( AB = 6 \).

Противоположная сторона параллелограмма \( CD = AB = 6 \).

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле \( P = 2(a+b) \), где \( a \) и \( b \) — длины смежных сторон.

В нашем случае \( a = AB = 6 \) и \( b = BC = 16 \).

\( P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(6 + 16) = 2(22) = 44 \).

Ответ: 44.