7. (3 балла) Решите неравенство: a) \(\(\frac{(x+1)^2 (2-x)}{x-1}\) \(\geq\) 0; 6) 0.4^{3x-6} > 1; B) \(\log\)_{\(\frac{1}{2}\)} (x+2) \(\geq\) -1.

Решение:

a)

1. Выражение \((x+1)^2\) всегда неотрицательно. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы \(2-x\) и \(x-1\) имели противоположные знаки, либо \(2-x=0\).
2. Рассмотрим знаки числителя и знаменателя.
3. Числитель равен нулю при \(x = -1\) или \(x = 2\). Знаменатель равен нулю при \(x = 1\).
4. Нанесём эти точки на числовую ось и определим знаки выражений:
5. При \(x < -1\): \((x+1)^2 > 0, 2-x > 0, x-1 < 0 \Rightarrow \text{знак} = \frac{+ \cdot +}{-} = -\)
6. При \(-1 < x < 1\): \((x+1)^2 > 0, 2-x > 0, x-1 < 0 \Rightarrow \text{знак} = \frac{+ \cdot +}{-} = -\)
7. При \(1 < x < 2\): \((x+1)^2 > 0, 2-x > 0, x-1 > 0 \Rightarrow \text{знак} = \frac{+ \cdot +}{+} = +\)
8. При \(x > 2\): \((x+1)^2 > 0, 2-x < 0, x-1 > 0 \Rightarrow \text{знак} = \frac{+ \cdot -}{+} = -\)
9. Учитывая, что \(x=-1\) является корнем, а \(x=1\) — недопустимым значением, получаем, что неравенство выполняется при \(1 < x \leq 2\).

6)

1. Так как основание степени \(0.4 < 1\), при возведении в степень знак неравенства меняется на противоположный.
2. \(0.4^{3x-6} > 0.4^0\)
3. \(3x - 6 < 0\)
4. \(3x < 6\)
5. \(x < 2\)

B)

1. Так как основание логарифма \(\frac{1}{2} < 1\), при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.
2. \(x+2 > 0 \Rightarrow x > -2\) (ОДЗ)
3. \(x+2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\)
4. \(x+2 < 2\)
5. \(x < 0\)
6. Объединяя ОДЗ и результат потенцирования: \(-2 < x < 0\)

Ответ: a) \((1; 2]\); 6) \((-\infty; 2)\); B) \((-2; 0)\).