7. (2 балла) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины общего перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2:3 и длины наклонных равны 31 см и 41 см.

Решение:

Обозначим:

• \( c \) — длина общего перпендикуляра.
• \( a_1 \) и \( a_2 \) — длины проекций наклонных.
• \( l_1 \) и \( l_2 \) — длины наклонных.

По условию имеем:

• \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \)
• \( l_1 = 31 \) см
• \( l_2 = 41 \) см

Согласно теореме о трёх перпендикулярах, квадрат длины наклонной равен сумме квадратов длины перпендикуляра и длины его проекции:

\( l_1^2 = c^2 + a_1^2 \)

\( l_2^2 = c^2 + a_2^2 \)

Подставим известные значения:

\( 31^2 = c^2 + a_1^2 \rightarrow 961 = c^2 + a_1^2 \) (1)

\( 41^2 = c^2 + a_2^2 \rightarrow 1681 = c^2 + a_2^2 \) (2)

Из условия \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \) следует, что \( a_1 = \frac{2}{3} a_2 \).

Подставим \( a_1 \) в уравнение (1):

\( 961 = c^2 + (\frac{2}{3} a_2)^2 \) (3)

Выразим \( c^2 \) из уравнения (2):

\( c^2 = 1681 - a_2^2 \)

Подставим \( c^2 \) в уравнение (3):

\( 961 = (1681 - a_2^2) + \frac{4}{9} a_2^2 \)

\( 961 = 1681 - a_2^2 + \frac{4}{9} a_2^2 \)

\( 961 - 1681 = -a_2^2 + \frac{4}{9} a_2^2 \)

\( -720 = -\frac{5}{9} a_2^2 \)

\( a_2^2 = 720 \cdot \frac{9}{5} \)

\( a_2^2 = 144 \cdot 9 \)

\( a_2^2 = 1296 \)

\( a_2 = \sqrt{1296} = 36 \) см

Теперь найдём \( a_1 \):

\( a_1 = \frac{2}{3} a_2 = \frac{2}{3} \cdot 36 = 2 \cdot 12 = 24 \) см

Подставим \( a_2 \) в уравнение (2), чтобы найти \( c^2 \):

\( 1681 = c^2 + 36^2 \)

\( 1681 = c^2 + 1296 \)

\( c^2 = 1681 - 1296 \)

\( c^2 = 385 \)

\( c = \sqrt{385} \) см

Проверим с \( a_1 \) и уравнением (1):

\( 961 = c^2 + a_1^2 \)

\( 961 = 385 + 24^2 \)

\( 961 = 385 + 576 \)

\( 961 = 961 \) (Верно)

Ответ: \( \sqrt{385} \) см.