7. (1,5 бали). Знайти кількість сторін правильного многокутника, якщо довжина кола, вписаного в нього і довжина його сторони відповідно дорівнюють 10п см і см.

Рішення:

1. Нехай \( n \) — кількість сторін правильного многокутника, \( a \) — довжина його сторони, \( R \) — радіус описаного кола, \( r \) — радіус вписаного кола.
2. За умовою, довжина вписаного кола дорівнює \( 10π \) см. Формула довжини кола: \( C = 2πr \).
3. Отже, \( 2πr = 10π \). Звідси \( r = 5 \) см.
4. Довжина сторони правильного \( n \)-кутника пов'язана з радіусом вписаного кола формулою: \( a = 2r \tan(\frac{180^\circ}{n}) \).
5. За умовою, довжина сторони \( a = 10 \) см.
6. Підставимо відомі значення: \( 10 = 2 \times 5 \tan(\frac{180^\circ}{n}) \).
7. \( 10 = 10 \tan(\frac{180^\circ}{n}) \).
8. \( \tan(\frac{180^\circ}{n}) = 1 \).
9. Знаємо, що \( \tan(45^\circ) = 1 \).
10. Отже, \( \frac{180^\circ}{n} = 45^\circ \).
11. \( n = \frac{180^\circ}{45^\circ} = 4 \).

Відповідь: 4.